常系数线性齐次递推关系

常系数线性齐次递推关系

设

\[h_0,h_1,h_2,\cdots ,h_n,\cdots \]

是一个数列，称这个数列满足k阶线性递推关系是指存在量\(a_1,a_2,\cdots ,a_k\)和量\(b\)，使得

\[h_n=a_1h_{n-1}+a_2h_{n-2}+\cdots+a_kh_{n-k}+b \]

若量\(b\)是常数0，则称线性递推关系是齐次的；若量\(a_1,a_2,\cdots ,a_k\)都是常系数，则称线性递推关系是常系数的。

定理

设q是一个非0数，则\(h_n=q^n\)是下面常系数线性齐次递推关系

\[h_n-a_1h_{n-1}-a_2h_{n-2}-\cdots-a_kh_{n-k}=0 \]

的解，当且仅当q是下面多项式方程

\[x^k-a_1x^{k-1}-a_2x^{k-2}-\cdots-a_k=0 \]

的根。若多项式方程有k个不同的根\(q_1,q_2,\cdots,q_k\)，则\(h_n\)有唯一的通项公式

\[h_n=c_1q_1^n+c_2q_2^n+\cdots+c_kq_k^n \]

证明：
因为\(h_n=q^n\)为\(h_n-a_1h_{n-1}-a_2h_{n-2}-\cdots-a_kh_{n-k}=0\)的解当且仅当

\[q^n-a_1q^{n-1}-a_2q^{n-2}-\cdots-a_kq^{n-k}=0 \]

又由于假设\(q\neq 0\)，消去\(q^{n-k}\)，得到唯一的方程

\[q^k-a_1q^{k-1}-a_2q^{k-2}-\cdots-a_k=0 \]

所以得出方程有k个根\(q_1,q_2,\cdots,q_k\)，于是\(h_n\)的通解为

\[h_n=c_1q_1^n+c2q_2^n+\cdots+c_kq_k^n \]

代入数列的初始值

\[h_0=b_0,h_1=b_1,\cdots,h_{k-1}=b_{k-1} \]

得到以下方程组

\[\begin{cases} c_1+c_2+\cdots+c_k=b_0\\ c_1q_1+c_2q_2+\cdots+c_kq_k=b_1\\ c_1q_1^2+c_2q_2^2+\cdots+c_kq_k^2=b_2\\ \vdots\\ c_1q_1^{k-1}+c_2q_2^{k-1}+\cdots+c_kq_k^{k-1}=b_{k-1}\\ \end{cases} \]

这个方程组的系数矩阵为

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ q_1 & q_2 & \cdots & q_k\\ q_1^2 & q_2^2 & \cdots & q_k^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ q_1^{k-1} & q_2^{k-1} & \cdots & q_k^{k-1}\\ \end{bmatrix} \]

该矩阵叫做范德蒙矩阵，范德蒙矩阵是可逆的当且仅当\(q_1,q_2,\cdots,q_k\)互不相同，实际上它的行列式为

\[\coprod_{1\leq i < j \leq k}{(q_i-q_j)} \]

所以当\(q_1,q_2,\cdots,q_k\)互不相同，\(h_n\)便有唯一通解
即得证

斐波那契数列通项公式

由于斐波那契数列为\(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\)，属于常系数线性齐次递推关系。
首先求解方程\(x^2-x-1=0\)的根

\[q_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},q_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \]

由于\(f0=0,f1=1\)，带入初始值

\[\begin{cases} c_1+c_2=0\\ c_1(\frac{1+\sqrt{5}}{2})+c_2(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=1\\ \end{cases} \]

得到

\[c_1=\frac{1}{\sqrt{5}},c_2=\frac{-1}{\sqrt{5}} \]

所以

\[f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n] \]