圆锥曲线（初等视角）
切线方程
曲线 \(F(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\in F\) 处切线方程：\((x-x_0)\cdot \left.\dfrac{\partial F}{\partial x}\right|_{x_0}+(y-y_0)\cdot \left.\dfrac{\partial F}{\partial y}\right|_{y_0}=0\)。
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椭圆：\(\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1\)
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双曲线：\(\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1\)
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抛物线：\(y_0y = p(x + x_0)\)
双曲线的渐近线
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渐近线方程：\(y = \pm \dfrac{b}{a}x \Rightarrow \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0\)。
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焦点到渐近线的距离：恒等于 \(b\)。因为 \(a^2+b^2=c^2\)。
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切线与渐近线：双曲线上任意一点的切线与两条渐近线围成的三角形面积为定值 \(ab\)。
硬算吧。
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弦与渐近线：过双曲线上一点作直线的并行线，或任何割线被双曲线和渐近线截得的线段相等（即 \(|AC| = |BD|\)）。
本质是 \(AD,BC\) 中点重合，硬算。
第二第三定义 & 极坐标
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椭圆方程：\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)
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第一定义：平面内 与两定点的距离的和等于常数 的动点的轨迹叫做椭圆
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第二定义：平面内 到定点的距离和到定直线的距离之比为常数 的点的轨迹是椭圆。
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第三定义：平面内的 动点到两定点的斜率乘积等于常数 的点的轨迹叫做椭圆。
把三个定义带入方程即可互相等价。
抛物线可以看成一个焦点 \(\to\) 无穷远处 的椭圆。\(P\) 到另一个焦点的连线可以视为 \(P\) 关于 \(x\) 轴的平行线。
第二定义与极坐标
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设 \(F\) 为 焦点，\(L\) 为 准线，\(p\) 为 焦点到准线的距离。
平面内到定点 \(F\) 与到定直线 \(L\) 的距离之比等于常数 \(e\)（离心率）的点的轨迹：
- \(e=0\)：圆
- \(0 < e < 1\)：椭圆
- \(e = 1\)：抛物线
- \(e > 1\)：双曲线
以 焦点为极点，焦点到对应准线的垂线为极轴。有统一极坐标方程：\(r = \dfrac{ep}{1 - e\cos\theta}.\)
对第二定义直接用 \(\theta\) 角转化边的关系，即可得到极坐标方程。
第三定义 & 点差法
设 \(A(-a,0),B(a,0)\)，平面上满足 \(k_{PA} \cdot k_{PB}=e^2-1\) 的点的轨迹为 椭圆 / 双曲线。
\(A,B\) 可以换为 椭圆/双曲线上任意关于原点对称的两点。
点差法：若 \(AB\) 是 椭圆的弦，\(M\) 是 \(AB\) 的中点，则 \(k_{AB} \cdot k_{OM} = e^2-1\)
对第三定义取 \(PB\) 终点作中位线即可等价。
抛物线找不到第三性质状物。
抛物线点差法：\(y^2=2px\) 上有 \(A(x_0,y_0),B(x_1,y_1),M\) 为 \(A,B\) 中点。
\(y_1^2-y_0^2=2p(x_1-x_0)\Longrightarrow \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\cdot(y_0+y_1)=2p\Longrightarrow k_{AB}\cdot y_M=p\)。
仿射变换
圆锥曲线的 仿射变换，常指 伸缩变换，例如将椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 通过 \(x_1=x, y_1=\dfrac{a}{b}y\) 变成圆 \(x_1^2 + y_1^2 = a^2\)。
适用于 解决面积，斜率，保平行、共线、比例关系等等。
不适用于 解决长度，角度，焦点等等问题
可以轻松通过仿射变换证明 椭圆第三定义和方程的等价性。
斜率性质
设 \(P(x_0, y_0)\) 为椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 上一点。
设椭圆上两条弦 \(PM,PN\) 的斜率分别为 \(k_1,k_2\)。试探究 \(k_1,k_2\) 什么样的条件能使 \(MN\) 过定点。
$\bf{solution}$
不妨以 \(P\) 为原点，椭圆方程变为：\(\dfrac{(x+x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y+y_0)^2}{b^2} = 1\Longrightarrow \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{2x_0}{a^2}x + \dfrac{2y_0}{b^2}y = 0\)
设 \(l_{MN}:Ax+By+1=0\)，与椭圆联立：
\[\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} -\left( \dfrac{2x_0}{a^2}x + \dfrac{2y_0}{b^2}y\right)(Ax+By) = 0\\ \Longrightarrow x^2 \left( \frac{1 - 2A x_0}{a^2} \right) - 2 xy \left( \frac{A y_0}{b^2} + \frac{B x_0}{a^2} \right) + y^2 \left( \frac{1 - 2B y_0}{b^2} \right) = 0 \]由韦达定理：
\[\begin{aligned} &\mathbf{k_1 k_2 = \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{1 - 2A x_0}{1 - 2B y_0}} \\ &\mathbf{k_1 + k_2 = \frac{2 A y_0 + 2 B x_0 \frac{b^2}{a^2}}{1 - 2B y_0}} \end{aligned} \]于是当 \(k_1k_2=\lambda\) 或 \(k_1+k_2=\lambda\) 时，\(MN\) 过定点。
焦点三角形 & 焦半径 & 焦点弦
以椭圆为例。
设 \(P(x_0,y_0)\) 为椭圆上一点，\(\angle F_1PF_2 = \theta\)。
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面积：\(S_{\Delta PF_1F_2}=b^2\tan\frac{\theta}{2}\)，双曲线则为 \(S_{\Delta PF_1F_2}=b^2\cot\frac{\theta}{2}\)。根据面积能表示出 \(y_P,r\)。
对 \(\theta\) 用余弦定理表示 \(PF_1\cdot PF_2\) 即可。
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离心率：\(e=\dfrac{\sin \theta}{\sin\alpha+\sin\beta}\)，双曲线则为 \(e=\dfrac{\sin \theta}{|\sin\alpha-\sin\beta|}.\)
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焦半径：\(PF_1=|a+ex_0|,PF_2=|a-ex_0|.\)
对 \(\theta\) 用余弦定理表示 \(PF_1,PF_2\) 即可。
设 焦点弦 \(AB\) 与 \(x\) 轴夹角为 \(\theta\)，\(CD\) 为对应准线上垂足。极坐标：
在抛物线中，由韦达：\(x_Ax_B=\dfrac{p^2}{4},y_Ay_B=-p^2,AB=\dfrac{2p}{\sin^2\theta}\)。
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以 \(AB\) 为直径的圆与准线相切。即 \(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}(AC+BD)\)。
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以焦半径 \(AF\) 为直径的圆必与 \(y\) 轴相切。即 \(\dfrac{1}{2}AF=AG\)。
调和性质：\(\dfrac{1}{AF_1}+\dfrac{1}{BF_1}=\dfrac{2}{p}\)。
设 \(l_{AB}\cap l_{CD}=Q\)，则 \((A,B;F,Q)\) 构成 调和点列。
- 根据 这个调和点列及其投影，可以推出更多调和性质，不过多展开。
相似三角形 \(+\) 第三定义即证。
调和性质对椭圆、双曲线、抛物线均适用。
焦点三角形的内心 & 旁心
对于 椭圆 焦点三角形，旁切圆切 \(x\) 轴于椭圆顶点，内心轨迹为椭圆。
对于 双曲线 焦点三角形，内切圆切 \(x\) 轴于双曲线顶点，旁心轨迹为双曲线。
考虑椭圆，设 \(A\) 为切点，下证 \(AF_1=a-c\)。
\(2AF_1=AF_2-F_1F_2+BF_1=CF_2+BF_1-F_1F_2=PF_1+PF_2-F_1F_2=2(a-c)\)。
已知 \(I_1\) 在 \(y=-a\) 上，我们考虑证明 \(k_{IF_1}\cdot k_{IF_2}\) 为定值，套用第三定义即可。
由内外角平分线垂直，\(k_{IF_1}\cdot k_{I_1F_1}=-1\) 为定值，又 \(I_1,I,F_2\) 三点共线，于是 \(k_{IF_2}:k_{I_1F_1}=k_{I_1F_2}:k_{I_1F_1}\) 为定值。
于是 \(k_{IF_1}\cdot k_{IF_2}\) 为定值。
双曲线同理，不赘述。
内准圆
在椭圆上有两点 \(A,B\) 满足 \(OA\perp OB\)，过 \(O\) 作 \(OH\perp AB\) 于 \(H\)。
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\(\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\)
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\(OH^2=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\)
双曲线时结论变为：
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\(\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}\)
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\(OH^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}\)
设 \(OA=m,OB=n\)，则 \(A(m\cos\theta,m\sin\theta),B(-n\sin\theta,n\cos\theta)\)。
带入椭圆方程：
\[\dfrac{1}{m^2}=\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{b^2},\quad \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\sin^2\theta}{a^2}+\dfrac{\cos^2\theta}{b^2}\Longrightarrow \dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}。 \]
\(OA\times OB=AB\times OH\Longrightarrow OA^2\times OB^2=OH^2\times (OA^2+OB^2)\Longrightarrow OH^2=\dfrac{OA^2\times OB^2}{OA^2+OB^2}=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\)
双曲线类似，不过多赘述
外准圆 (蒙日圆)
椭圆的 两条互相垂直的切线的交点轨迹是圆 \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\)。
双曲线 两条互相垂直的切线的交点轨迹是圆 \(x^2+y^2=a^2-b^2\)，若 \(a<b\) 则没有。
抛物线 两条互相垂直的切线的交点轨迹是 准线 \(x=-\dfrac{p}{2}\)。且此时 两切点连线必为焦点弦。
设交点为 \(P(x_0,y_0)\)，斜率为 \(k_1k_2=-1\)，联立韦达即可。
共圆问题
设椭圆两个焦点为 \(F_1,F_2\)，过 \(P\) 点切线交左右两端点切线于 \(M,M'\)。则 \(MF_1F_2M'\) 四点共圆。
硬算不难。暂时没有更优雅方法。
设椭圆两个焦点为 \(F_1,F_2\)，过 \(P\) 点切线及其法线分别交 \(y\) 轴于 \(Q,S\)，则 \(PF_1SF_2Q\) 五点共圆。
硬算不难。暂时没有更优雅方法。
圆锥曲线上 \(ABCD\) 四点共圆 的等价条件是 对边斜率和 \(k_{AB}+k_{CD}=0\)。
设圆心坐标为 \(O(x_0,y_0)\)，则四边形 \(ABCD\) 重心 \(G\) 的坐标为 \((e^{-2}x_0,(1-e^{-2})y_0)\)。
$\bf{proof}$
设椭圆方程为 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1;\quad l_{AB}: k_1x+y+b_1=0,l_{CD}: k_2x+y+b_2=0\)。
则 \(ABCD\) 构成的二次曲线可用唯一参数 \(\lambda\) 表示：
\[C+\lambda(l_{AB}l_{CD}):\quad \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\lambda(k_1x+y+b_1)(k_2x+y+b_2)=1 \]由于圆的方程没有 \(xy\) 项，于是 \(\lambda(k_1+k_2)=0\Longrightarrow k_1+k_2=0\)。
设圆方程 \(E: (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \implies x^2 + y^2 - 2x_0 x - 2y_0 y + K = 0\)。
与椭圆联立：
\[\begin{aligned} x^2 + \left(b^2 - \frac{b^2}{a^2}x^2\right) - 2x_0 x + K &= 2y_0 y\\ e^2 x^2 - 2x_0 x + (b^2 + K) &= 2y_0 y\\ \left(e^2 x^2 - 2x_0 x + \text{常数}\right)^2 &= 4y_0^2 y^2 = 4y_0^2 b^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right) \end{aligned} \\ \implies\sum x_i = -\frac{[x^3]f}{[x^4]f}=4e^{-2}x_0 \]同理 \(\sum y_i = -\frac{[x^3]f}{[x^4]f}=-4\cdot \dfrac{b^2}{c^2}x_0=4(1-e^{-2})y_0\)
光学性质
椭圆：从椭圆一个焦点 \(F_1\) 发出的光线，经过椭圆上一点 \(P\) 反射后，反射光线必经过另一个焦点 \(F_2\)。
双曲线：从双曲线一个焦点 \(F_1\) 发出的光线，经过双曲线上一点 \(P\) 反射后，反射光线的 反向延长线 经过另一个焦点 \(F_2\)。
抛物线：平行过焦，过焦平行。【透镜原理】
$\bf{proof}$
设二元势能函数 \(U({\boldsymbol{r}})=|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{F_1}}|+|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{F_2}}|\)。则椭圆为 \(U\) 的一个等势面。
两边 求梯度：\(\nabla U=\nabla|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{F_1}}|+\nabla|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{F_2}}|\)。
两边同时求 \(\boldsymbol{r}\) 位于 \(P(x,y)\) 处的值：
左侧 \((\nabla U)(x,y)\) 的几何意义是 \((x,y)\) 处 切线的法向量 \(\boldsymbol{n}\)。
右侧 距离函数的梯度 为对应方向的 单位向量。
设 \(\boldsymbol{e(u)}\) 表示 \(\boldsymbol{u}\) 方向单位向量，则 \(\boldsymbol{n=e(F_1P)+e(F_2P)}\)。
即 \(P\) 处切线法向量平分 \(\angle F_1PF_2\)。
双切线性质
圆锥曲线外一点 \(P\) 引两条切线交圆锥曲线于 \(A,B\)。圆锥曲线两焦点为 \(F_1,F_2\)。
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角平分：\(PF_1\) 平分 \(\angle AF_1B\)
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角相等：\(\angle APF_1=\angle BPF_2\)
作 \(F_1\) 关于 \(AP\) 的对称点 \(M\)，\(F_2\) 关于 \(BP\) 的对称点 \(N\)。则 \(PM=PF_1,PN=PF_2\)。
又由光学性质，\(MAF_2\) 共线，\(MBF_1\) 共线。故 \(MF_2=AF_1+AF_2=2a=NF_1\)。
于是 \(\Delta PMF_2\cong \Delta PF_1N\)。根据全等对应角相等容易推得上述结论。
过抛物线上任意两点 \(A,B\) 分别作两条切线相交于点 \(C\)，则称 \(\Delta CAB\) 为 阿基米德三角形。
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性质 \(1\)：\(CF\) 平分 \(\angle AFB\)。
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性质 \(2\)：设 \(M\) 为 \(AB\) 中点，则 \(CM /{\!\!}/\,x\) 轴。
类似上述作对称，做出图 \(2\) 得证。
- 性质 \(3\)：\(CF^2=FA\times FB\Longleftrightarrow \Delta CFA \sim\Delta BFC\)。
\(\angle A_1CM=\angle ACB=\dfrac{1}{2}\angle A_1CB_1\Longrightarrow \angle ACM=\angle BCF\)。
又 \(\angle ACM=\angle A_1AC=\angle CAF\)，故 \(\angle BCF=\angle CAF\)。加上性质 \(1\) 即证。
- 性质 \(4\)：设 \(CM\) 交抛物线与点 \(N\)，则 \(CN=CM\)。
利用中位线稍加转化，即证抛物线过 \(N\) 切线 \(/{\!\!}/ AB\)，计算即可。
焦点切线垂足
过椭圆上一点 \(P\) 作切线 \(AB\)，\(F_2A\perp AB,F_1B\perp AB\)。
则 \(OA=OB=a\)，\(F_1B\times F_2A=b^2\)。
$\bf{proof}$
以 \(a\) 为半径作圆 \(O\)。设 \(F_2\) 关于切线的对称点为 \(M\)，由光学性质 \(MPF_1\) 共线。
则 \(O,A\) 分别为 \(F_2F_1,F_2M\) 中点。
于是 \(OA=\dfrac{1}{2}F_1M=\dfrac{1}{2}(F_1P+PM)=\dfrac{1}{2}(F_1P+PF_2)=a\)。
延长 \(AF_2\) 交圆 \(O\) 于 \(C\)。由于 \(AF_2/{\!\!}/ BF_1\)，由对称性可得 \(BF_1=CF_2\)。
于是根据 圆幂定理：\(F_1B\times F_2A=F_2C\times F_2A=(a-c)(a+c)=b^2\)。
过抛物线上一点 \(A\) 作切线 \(AB\)，\(FB\perp AB\)。设 \(\alpha=\left<AB,x\,轴\right>\)，则 \(FB=\dfrac{p}{2\sin\alpha}\)。
根据光学性质，设 \(AC\) 为 \(A\) 到准线的垂线，则 \(l_{AC},l_{AF}\) 关于 \(l_{AB}\) 对称，\(AC=AF\)。
所以 \(CBF\) 共线。容易计算得出 \(BF=\dfrac{1}{2}CF\) 的长度。
共焦点圆锥曲线
正交性定理
椭圆与双曲线共焦，两者焦点为 \(P\)。则 \(P\) 在椭圆上切线 \(l_1\) 与在双曲线上切线 \(l_2\) 垂直。
根据光学性质，\(l_1\) 平分 \(\angle F_1PF_2\) 的外角，\(l_2\) 平分 \(\angle F_1PF_2\)，于是 \(l_1\perp l_2\)。
Graves 定理
椭圆 \(\Omega,\Psi\) 共焦，设 \(P\in \Psi\)，过 \(P\) 作 \(\Omega\) 切线切于 \(A,B\)。记 \(\text{Arc}(A,B)\) 表示 \(\Omega\) 上 \(AB\) 段 远离 \(P\) 的弧长。
则 \(PA+PB+\text{Arc}(A,B)=\bf{Const}.\)
$\bf{proof}$
设 \(P\) 为穿在椭圆轨道 \(\Psi\) 上的有孔轻珠子，原长 \(\varepsilon\) 充分小的 弹性绳圈 绕椭圆 \(\Omega\) 且穿过 \(P\) 点的孔。所有接触均光滑。
由于绳拉力处处相等：\(T_{PA}=T_{PB}\)。
设 \(PQ\) 为 \(\Psi\) 轨道上的切线法线，其中 \(Q\) 在 \(P\) 下方。
由光学性质，\(\angle F_1PQ=\angle F_2PQ\)。根据切线性质，\(\angle APF_1=\angle BPF_2\)。
于是 \(\angle APQ=\angle BPQ\)，故 \(P\) 处合力 \(\boldsymbol{T_{PA}+T_{PB}}\) 沿 \(PQ\) 方向。
于是 \(P\) 在 \(\Psi\) 上任意移动都 不改变其势能，由于只有弹性势能项，于是 弹性绳圈长度为定值。
用数学一点的语言来说，设 \(L({\boldsymbol P})=L({\boldsymbol P},{\boldsymbol A},{\boldsymbol B})=|{\boldsymbol P}-{\boldsymbol A}|+|{\boldsymbol P}-{\boldsymbol B}|+\text{Arc}({\boldsymbol A},{\boldsymbol B})\)。
根据全微分链式法则，\(L\) 随 \(P\) 的全梯度：\(\nabla L = \dfrac{\partial L}{\partial P} + \dfrac{\partial L}{\partial A}\cdot \dfrac{{\rm d} A}{{\rm d}P} + \dfrac{\partial L}{\partial B} \cdot \dfrac{{\rm d}B}{{\rm d}P}\)
用 \(X\) 表示 \(A\) 在 \(\Omega\) 上的移动，由于 \(A\) 切点的性质，容易微元分析得出：\(\left.\dfrac{\partial L}{\partial X}\right|_{X=A}=0\)。对 \(B\) 同理。
设 \(\boldsymbol{e(u)}\) 表示 \(\boldsymbol{u}\) 方向单位向量。于是 \(\nabla L = \dfrac{\partial L}{\partial P}=\boldsymbol{e(PA)+e(PB)}\)。
由上述几何性质，\(\nabla L\) 沿 \(\Psi\) 法向。故 \(\Psi\) 为 \(L\) 一等势面。
参考文献
相比之下，本文多处使用更厉害的手段或更高等的方法简化证明，同时也扩充了海量的知识。
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