数学总结

函数

函数例如 \(f(f(n))=3n\) 这种，内外都套一层，转化为 \(f(3n)=3f(n)\) 这样好做一点。

函数极值尝试 数形结合配距离式子，作垂线切线等等。椭圆最大最小值变化，就转换焦点。

善于猜解归纳。

代入特值，加加减减绝对值不等式。

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三次函数根据零点画图！

比如 \(f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)+d\) 形式，并且 \(a,b,c\) 形式简单，可以直接过三个零点的图分析性质。

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函数 \(f(x)\)：

• \(x=a\) 对称 \(\color{red}\text{and}\) \(x=b\) 对称；或有周期 $T=a{\color{red}\text{ and }}T=b\Longrightarrow $ 有周期 \(T=2|b-a|\)。

• \(x=a\) 对称 \(\color{red}\text{and}\) 有周期 $T=b\Longrightarrow $ 有周期 \(T=4|b-a|\)。

• 奇函数，有周期 \(a\Longrightarrow f\left(\dfrac{ka}{2}\right)=0,k\in \Z\)

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• 含参取值范围问题：参变分离，含参讨论，带入特殊值（端点等等）

复杂函数多想想同构，极值点偏移与构造单调函数 \(f\) 满足：\(x_1<x_2\Longleftrightarrow f(x_1)<f(x_2)\)。

极值点偏移：构造函数（如 \(F(x)=f(x)-f(2x_0-x)\)），比值换元，切割线放缩，对数均值。

数列

裂项：

直接裂 \(\dfrac{C}{f_nf_{n+1}}=\dfrac{1}{f_n}-\dfrac{1}{f_{n+1}},C=f_{n+1}-f_n\)

隔两项裂：\(\dfrac{1}{f_nf_{n+2}}=\dfrac{C}{f_nf_{n+1}}-\dfrac{C}{f_{n+1}f_{n+2}},C=\dfrac{f_{n+2}-f_n}{f_{n+1}}\)

有时候裂项出来的 \(C\) 不是常数，此时可以尝试把 \(C\) 放缩在一个常数区间，以放缩级数求和。

等号时常换成不等号，注意多尝试放缩

数列不等式放两次：比如 \(a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{1}{a_n^2}\)。第一问证明 \(a_n>f(n)\)，然后递推式给出：

\(a_n=a_1+\sum\limits_{i=1}^{n-1} \dfrac{1}{a_i^2}<a_1+\sum \limits_{i=1}^{n-1} \dfrac{1}{f(a_i^2)}\)​

递推式相邻两项作差，寻找不变量：

\(a_n = \sqrt{a_{n-1}a_{n+1} + 1}\Longrightarrow a_n^2 - a_{n-1}a_{n+1} = a_{n+1}^2 - a_n a_{n+2}\Longrightarrow a_n (a_n + a_{n+2}) = a_{n+1} (a_{n+1} + a_{n-1})\Longrightarrow \frac{a_{n+1} + a_{n-1}}{a_n}=C\)

复数，多项式

复数不等式考虑模，实虚部放缩

\(f(\bar {z})=\overline {f(z)}\)，范德蒙德矩阵（零次一次起无所谓）行列式 \(\prod\limits_{i<j} (x_j-x_i).\)

基本形式（一般 \(g(z)=z^n-1,z^n+1\) 等简单少项式），核心是 \(g(z)=\prod\limits (z-z_k)\) 代入值或者微分好算。

\(g(z)=\prod\limits (z-z_k),f(z)=\sum\limits \dfrac{1}{z-z_k}=g'/g\)，然后对 \(f\) 线性变换，或者 \(f\) 对 \(z\) 微分后线性变换等等。跳脱不出这个基本型。

高斯和，\(p\) 素：\(\sum\limits_{k=0}^{p-1} w_p^{k^2}=\sum\limits_{k=1}^{p-1} \left(\dfrac{k}{p}\right)w_p^{k}=\left(\dfrac{-1}{p}\right)\sqrt p.\)

单位根反演 \([k\mid n]=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=0}^{n-1} w_n^{jk}.\)

三角和拆变量：\(|e^{2i\beta}-e^{2i\alpha}|=2|\sin(\alpha+\beta)|\)​

对于 \(\sum\limits_{i} \prod\limits_{j\neq i}\cdots\) 的式子，要么构造插值，要么构造部分分式和（留数定理）

模长降次：\(|z|=1,|z^2+z+3|=|z|\cdot |z+3\bar{z}+1|=|z+3\bar{z}+1|\Longrightarrow\) 椭圆轨迹。

向量，立体几何

奔驰定理：\(\sum S_A \vec{PA}=\vec{0}\)​。

内心坐标：\(x_I=\dfrac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c},y\) 同理。其中 \(x_{1,2,3}\) 是 \(a,b,c\) 横坐标。

以 \(O\) 起点，\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) 终点共线，则 \(\lambda \vec {a}+\mu \vec{b}=\vec c,\lambda+\mu=1\)​​​​​。

空间中直线 \(AB\) 与 \(CD\) 距离：\(\vec{n}=\vec{AB}\times \vec{CD}\)，\(d=\dfrac{|\vec{n}\cdot \vec{AC}|}{|\vec{n}|}\)。

线面平行：转化为线平行于 面面交线。

扩展平面：\(A,B,C\in \alpha\)，过 \(A\) 作 \(BC\) 平行线扩展。或者延长 \(AB\) 到 \(D\)，连接 \(CD\) 扩展。

\(AB,CD\) 夹角 \(\theta\)。\(\cos\theta=\dfrac{|AC^2+BD^2-AD^2-BC^2|}{2AB\cdot CD}\)

\(\vec{AC}^2-\vec{AD}^2=\vec{DC}\cdot (\vec{AC}+\vec{AD})\)

\(\vec{BD}^2-\vec{BC}^2=\vec{CD}\cdot (\vec{BC}+\vec{BD})\)

\(|AC^2+BD^2-AD^2-BC^2|=|\vec{CD}\cdot (\vec{AB}+\vec{AB})|=2|\vec{AB}\cdot \vec{CD}|\)

特别的，当 \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) 时，\(AC^2-AD^2=BC^2-BD^2\)。

三角

四边形海伦：\(p=\dfrac{1}{2}\sum a,S=\sqrt{\prod (p-a)-abcd\cos^2(\frac{B+D}{2})}\)​

三角恒等式（也可以三角换元用）：

\(\sum \tan A=\prod \tan A\)

\(\sum \cot A\cot B=\sum \tan (A/2)\tan (B/2)=\sum \cos ^2A+2\prod\cos A=1\)

\(\sum \sin 2A=4\prod \sin A\)​

\(\sum \cos A=1+4\prod \sin (A/2)\)

\(\sum \sin ^2 A=2+2\prod \cos A\)​

嵌入不等式：\(x,y,z\in \R,A,B,C\) 为三角形内角，\(x^2+y^2+z^2\ge 2xy\cos A+2yz\cos B+2zx\cos C\)​​。

\(\sin^2 A-\sin ^2 B=\sin(A+B)\sin (A-B)\)​

\(P\) 是平面内任意一点。\(A, B, C\) 是直线上的三个点。

斯特瓦尔特定理：$$PA^2 \cdot BC + PB^2 \cdot CA + PC^2 \cdot AB - AB \cdot BC \cdot CA = 0$$

极限，微积分

\(\ln(1-x)=-\sum\limits_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}\)

\(\arctan x=\sum\limits_{k\ge 0}(-1)^{k}\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}\)​

不等式

扩倍配凑均值柯西等：\(x=\dfrac{1}{3}(x+x+x)\)​

舒尔常见等价形式：\(\prod(x+y-z)\le xyz,\sum x^3+3xyz\ge \sum\limits_{\text{sym}} x^2y,p^3+9r\ge 4pq\)。

对条件中关键部分（例如在不等式中出现的元素）换元。

三角换元，根号下一坨数型结合变距离（有时候是点到直线距离）

\(abc=1,a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}\)，对称性良好则是 \(a=\dfrac{x^2}{yz},b=\dfrac{y^2}{xz},c=\dfrac{z^2}{xy}\)。

\(a,b,c\) 三角形三边：\(a=x+y,b=y+z,c=z+x,x,y,z>0\)。

条件 \(\sum f(x_i)=0\)，可以 \(+k\sum f(x_i)\)​ 嵌入到命题中，提供放缩。类似拉格朗日乘子。

概率统计

当 \(a,b\) 情况对称时，\(P(a<b)=\dfrac{1-P(a=b)}{2}\)​

• \({\mathbb E}(X+Y)={\mathbb E}(X)+{\mathbb E}(Y)\)。

• \(X,Y\) 独立时，\({\mathbb E}(XY)={\mathbb E}(X){\mathbb E}(Y)\Longrightarrow {\mathbb D}(X+Y)={\mathbb D}(X)+{\mathbb D}(Y),\)

• \({\mathbb D}(X)={\mathbb E}((X-{\mathbb E}(X))^2)={\mathbb E}(X^2)-{\mathbb E}(X)^2\)

• \({\mathbb E}(aX+b)=a{\mathbb E}(x)+b,{\mathbb D}(aX+b)=a^2{\mathbb D}(x)\)

二项分布

\(X\sim B(n,p),{\mathbb E}(X)=np,{\mathbb D}(X)=np(1-p)\)

正态分布

\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)

\({\mathbb E}(X=x)=f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma} \exp\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\)，其中 \(\mu\) 是中心位置，\(\sigma^2\) 为方差，\(\sigma\) 为标准差。

中心极限定理

如果有 \(n\) 个相互独立且具有相同分布（均值为 \(\mu\)，方差为 \(\sigma^2<\infty\)）的随机变量 \(X_1, X_2, \dots, X_n\)。

当 \(n\) 足够大 时，它们的算术平均数 \(\bar{X} = \frac{1}{n}\sum X_i\) 或总和 \(\sum X_i\) 会趋近于 正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)。

• 特别的：当 \(np,n(1-p)\) 充分大时，\(B(n,p)\sim N(np,np(1-p))\)。

最小二乘法

线性相关度：

\[r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\sum\limits_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i -n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 -n\bar{x}^2}\cdot \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n y_i^2 -n\bar{y}^2}} \]

拟合直线斜率：

\[k=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i -n\bar{x}\bar{y}}{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 -n\bar{x}^2} \]

且直线过点 \((\bar{x},\bar{y})\)。

残差 \(y_i-\hat{y}_i\)，其中 \(\hat{y}\) 为用直线的估计值。

拟合好不好，决定系数：\(R^2=1-\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n (y_i-\hat{y_i})^2}{\sum\limits_{i=1}^n (y_i-\bar{y_i})^2}=r^2\)。不妨设 \(R\ge 0\)，则：

• \(r>0\) 正相关，\(r<0\) 负相关。

• \(|r|\to 1\) 相关程度越高。

• 由反向柯西（Aczel 不等式），\(|r|\le 1\)。

杂项

高次式写成一次式乘积裂项！可能带复数。

\(V-E+F=2,V+L+1=F\)，其中 \(V,E\) 为交点和边的数目，\(F\) 为平面数，\(L\) 为曲线数量（必须是非闭合曲线）。

函数根 \(x_1-x_2\) 可以尝试用 拉格朗日中值 \(x_1-x_2=\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{f'(\xi)}\) 寻求放缩。