分治 NTT 一则

问题

给定 \(n\) 个一次分式 \(q_i(x)=\dfrac{c_ix}{a_ix+b_i}\)，\(\forall i\in [1,n],f_i=[x^i]\sum\limits_{j\in [1,i]}\prod\limits_{k\in [1,j]} q_k(x)\)，求出所有 \(f_{1},f_2,\cdots,f_n\)。

解法

考虑 cdq 分治，计算 \(j\in [l,mid]\to i\in [mid+1,r]\) 的贡献。

相当于你要算出

\[[x^{mid+1\sim r}]\sum\limits_{j\in [l,mid]}\prod\limits_{k\in [1,j]} q_k(x)=[x^{(mid+2-l)\sim (r-l+1)}]Q_{l-1}\sum\limits_{j\in [l,mid]}\prod\limits_{k\in [l,j]} q_k(x)=[x^{(mid+2-l)\sim (r-l+1)}]Q_{l-1}T_{l,mid} \]

其中 \(Q_{m}=\prod\limits_{1\le i\lt m} (q_{i}(x)/x),T_{l,r}=\sum\limits_{j\in [l,r]}\prod\limits_{k\in [l,j]} q_k(x).\)

首先 \(T\) 是最好维护的。分子分母的 \(\deg\) 都是 \(\mathcal{O}(r-l+1)\) 级别，直接分治然后多项式乘法维护即可。

• 注意要先分治递归求出 \(T\)，再 cdq 分治算后面的贡献。

具体的，记 \(\pi[l,r]=\prod\limits_{i\in [l,r]} q_i(x)\)，则 \(T_{l,r}=T_{l,mid}+\pi[l,mid]T_{mid+1,r}.\)

然后考虑在递归到 \([l,r]\) 的时候传入 \(Q_{l-1}\)，但是直接传入则 \(Q\) 的项数直接爆了。

注意到我们到 \([l,r]\) 的时候，只需要维护 \(Q_{l-1}\) 的前 \(r-l+1\) 项，于是这样递归项数就是对的。

• 递归到 \([mid+1,r]\) 的时候 \(Q\) 要乘一下 \(\prod\limits_{l\le i\le mid} (q_{i}(x)/x)\)。

复杂度是分治 NTT 一贯的 \(\mathcal{O}(n\log ^2n)\)。

例题

P12445 [COTS 2025] 数好图 / Promet，我的题解