ARC205 小记

太水了，不写详细格式，来个题题一句话。

A

容易证明每个合法的 \(2\times 2\) 白矩形都能恰好被操作一次。

于是做个二维前缀和即可。复杂度 \(\mathcal{O}(n^2+q)\)。

B

注意到操作三元环不改变奇偶性。

考虑倒着做，从全黑的完全图最少涂几条白边使得能转出这个图。

就考虑完全图每个点的 \(\deg_i =n-1\) 和当前图的 \(\deg_i\) 有 \(k\) 个不同的值，则至少要 \(\dfrac{k}{2}\) 条白边调整。

容易证明取到上确界。答案就是 \(\dbinom{n}{2}-\dfrac{k}{2}\)。复杂度线性。

C

分别观察向左走的和向右走的人。比如向左。

如果两个区间 \([S_i,T_i]\) 互相包含，则一定无解。

否则按 \(S_i\) 排序，则一定是 \(S\) 大的先走，小的后走。

向右的同理。然后对于左右的顺序，双指针一下，能走就走。

离散化，用树状数组维护区间是否有人即可。复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

D

转化一般图最大匹配。图就是没有祖孙关系连边。

根据 Tutte 定理与 Tutte–Berge 公式，套用结论：\(ans=n-\dfrac{1}{2}\max\limits_{S} (o(S)+S)\)，\(o(S)\) 表示集合 \(S\) 的导出子图的大小奇数连通块数目。

然后考虑选的 \(S\) 如果在原树中有分叉，则分叉之间一定两两联通。

所以不如把子树全选了，奇连通块数最多少 \(1\)，而多选了好多点。

然后最上面的点到根的路径全选一定更优。

于是答案为 \(n-\max\limits_{i} \left(d_i+\lfloor\frac{sz_i}{2}\rfloor\right)\)，直接计算即可，复杂度线性。

E

板子题。前 \(10\) 位后 \(10\) 位分组，加入一个数贡献到前 \(10\) 位的超集合，查询就查询后 \(10\) 位的子集积即可。复杂度 \(\mathcal{O}(2^{10}n)\)。