金库计划 6

我们将难度分为 \(5\) 个等级:

\(\color{grey}\bigstar\) 简单题，模板题或者难度为省选 \(\sf{D1T1}^{-}\) 的题目。

\(\color{green}\bigstar\) 签到题，难度近似于省选 \({\sf{D1T1}^{+}}\sim {\sf{D2T1}}\) 的题目。

\(\color{blue}\bigstar\) 中等题，难度近似于省选 \({\sf{D2T1}^{+}}\sim \sf{D(1/2)T2}\) 的题目。

\(\color{#F1C40F}\bigstar\) 困难题，难度近似于省选 \({\sf{D2T2}^{+}}\sim \sf{D(1/2)T3}\) 的题目。

\(\color{red}\bigstar\) zak 题，远超省选水平的题，做这种题可以开拓视野，启迪思维。

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题目后面会写一点评价与感悟。

\(\boldsymbol{[2025/04/01]}\)

金库

\(\color{blue}\bigstar\) qoj 9532。\(\color{Magenta}{\text{tag}}\)：堆，并查集。
思路分析：发现有一个很显然的二分答案做法，我们先二分答案 \(X\)，然后把 \(i\) 点的权值变成 \(w_i - X\)，就是检验是否存在以这个点为根的权值和 \(\geq 0\) 的连通块了。这个问题是有一个很显然的贪心的：\(f_i\) 表示以 \(i\) 为根的答案，那么就有 \(f_i = w_i - X + \sum_{y \in \text{son}(i)} \max(f_y, 0)\)，可以认为是它只选择那些 \(> 0\) 的儿子。

但是发现二分没有前途，所以我们考虑对于 \(X\) 进行扫描，直接从大到小，那么所有点的权值也都从 \(w_i - X\) 开始从小往大增大。

如果我们能在这个过程中动态维护所有的 \(f_i\)，那么我们就只需要关注每一个 \(f_i\) 变成 \(0\) 的时刻的 \(X\) 即可。

而对于一个 \(f_i\)，其变成 \(0\) 之后，随着 \(X\) 的增大，其必然一直保持 \(f_i > 0\)，那么在其父亲的决策中就必然会选择这个点。那么我们就可以让其和其父亲所在的连通块合并。

那么我们需要合并树上的两个连通块，以及查询当前所有 \(< 0\) 的 \(f_i\) 中最早变成 \(0\) 的 \(f_i\)（也就是找最小的 \(\frac{f_i}{w_i}\)）。发现可以直接使用并查集和可删堆分别处理，时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

问题分析解决

第二次卷王会议纪要

比赛策略方面，依然是需要多个时刻做好评估。

写在前面，当你一定需要通过某个题的时候，在怎么的死磕都是必要的。

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0. 评估自己在全国的排位，大概知道全国会某些特定的分的选手的数量。

1. 每一段完整的时间后进行一次评估。举例：在写完一段代码运行后发现假了；通过了一个题；一个题想了指定时间后每思路或思路假了。

2. 如何评估：

• 对于一档分需要评估两点：期望做出的概率（以及时间）和做不出造成的期望风险。期望收益与风险需要结合全局看。

• 对于多个题的抉择方面：优先考虑做出后区分度最大的东西，优先做的一定是最稳拿分的东西。但是如果稳定拿了分也没有用还是要考虑拼区分度更大的分。

3. 阈值法：对于会或者很可能会的多个分，在按照优先级排序后，需要给后面的部分设置一个阈值。不能让前面做太久，以免失一些不必要的简单分数。

extra：我现在有个习惯都是开局先打所有暴力再冲正解，需要和上述方法结合辨证性看待。合理运用注释，想清楚自己在写什么，变量名代表啥。

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关于平时训练方面。
0. 别天天做数学题了，自己也知道零个用处。解决方案：除了中午吃晚饭到下午开始的时段允许在 307 看或做一些数学题，其他时刻禁止主动做。

1. 做题心态：平常想题浮躁和着急是大忌。举例：自己找题做的时候频繁因为想不出来，急，然后频繁的看题解或者跳过。因为正赛一场总共就三个题，有效题大部分只有俩，正赛每题给你挑。
   解决方案：番茄时钟法，每隔十五分钟评估以下当前自己的状态。如果处于一段完整的时间（做正确的事情），例如码题啥的那就一直做下去就是了。
   评估发现一般的不对劲可以尝试喝饮料，吃小零食来调节。
   如果发现更加不对劲可以尝试出去走一走散散心，或者和机房/网络上的朋友聊聊天啥的。

2. 题目选择方面：在思考一个题的过程中，要多关注自己思维链从那里断的（和题解的前若干个不同想法的地方），针对这个进行总结。
   现阶段还是要多进行一些小“专题”训练，杂题训练太过漫无目的了。针对自己薄弱项尝试找相关难度适合的题专门训练，效果会很显著。
   多多思考一些算法的优化本质和应用场景。

\(\boldsymbol{[2025/04/02]}\)

打了 2025 -- 苍穹计划 -- NOI排位赛 #7，\(100+15+100=215\)，rk.13

金库

问题分析解决

• 换环境训练（多重意义下的环境）

• 每天没有很有思路的题的时候，可以看看最近一周自己吸收不是很完全的题目，再次巩固复习。

\(\boldsymbol{[2025/04/03]}\)

睡一天。

金库

问题分析解决

\(\boldsymbol{[2025/04/04]}\)

金库

\(\color{blue}\bigstar\) P6345。\(\color{Magenta}{\text{tag}}\)：dp，bitset。
思路分析：首先发现可以把一些柱子放在右侧形成一个递减序列，从而使这些柱子对答案没有贡献。

考虑每个柱子可以接到多少雨，第 \(i\) 根柱子，这根柱子上方的接到雨量为 \(\min\{\max_{j=0}^{i} h_j, \max_{j=i}^{n} h_j\}\)。

因为每根柱子都可以插入在任意两根柱子中间 (如果第 \(i\) 根柱子要插入的柱子左右两边已经有更高的柱子，就用这个柱子替换掉那根柱子，这样对于答案的变化量是相同的，所以不影响最终答案) 所以第 \(i\) 根柱子可能接到雨量为 \(\{h_j - h_i | h_j > h_i, j \in [1, n]\} \cup \{0\}\)，然后枚举柱子进行背包转移就可以了，这种做法是 \(O(n^2 \times v^2)\) 的。

写出后发现转移式子中有一步是一个序列或上另一个序列左移 \(x\) 位，可以 bitset 优化，于是最终复杂度为 \(O(\frac{n^2 \times v^2}{w})\)。

问题分析解决

\(\boldsymbol{[2025/04/05]}\)

打了 2025 -- 苍穹计划 -- NOI排位赛 #8，\(100+100+0=200\)，rk.4

金库

\(\color{blue}\bigstar\) P11665。\(\color{Magenta}{\text{tag}}\)：状压 dp。
思路分析：注意到如果转化成最小化最长反链，这个最小最大是不好处理的，于是我们只能处理最小最小链覆盖。

注意点末尾互不相同，于是状态数 \(2^V\)，能朴素设计一个 dp \(f_{i,S}\) 表示到 \(i\) 状态为 \(S\) 是否可行。

这里我们注意到 dp 值都是 \(0/1\)，发现我们一定浪费了很多信息。

于是注意到对于每个 \(f_{*,S}\)，只有 \(*\) 最大的那个 \(1\) 值是有用的，其他一定不优。

于是设计 dp，\(F_S\) 表示 \(f_{x,S}=1\) 的最大 \(x\)。

朴素转移是对于 \(S\) 增加 \(f_{S+1/2}\) 转移到对应位置，但是转移可能有许多自环，这时候需要做个平推，预处理一下加速这个平推过程即可。

复杂度 \(O(nV+V^22^V)\)，实现细节可以自己思考一下。

问题分析解决

\(\boldsymbol{[2025/04/07\sim 2025/04/24]}\)

停更备战期中考。

小记

1. 学习具有计划性是极其重要的。自己一直做的是总结过去，却几乎没有做计划未来。做好计划能让一天充实，不至于觉得啥该做的都没做。

2. 观看网文花费 \(15r+15r\)，关键是是同一本小说，只是第一次买了个只有一半的版本。去学校小卖部买一整箱饮料被坑至少 \(1\times 15=15r\)。给家里小朋友买生日礼物被裹挟了 \(360r\)。总计浪费了 \(390r\)，快要把我梦熊挣的花完了。
   在花钱前还是要三思，在不必要的情况下尽量想想价格是否合理，不要被无良商家欺骗。

3. 对于不熟悉的知识，需要再较短的时间段内多次重复，加深记忆。

问题总结

• 题目难度只是一个虚荣的壳，可以丢。

• 之后的内容应该更侧重于总结，总结和题目半独立。起到的作用是总结一些过程，和题解中的发现和可以让自己通过一点记录顺利还原思路。
  可以适当忽略一些繁琐的，给读者的细节，只需要自己看得懂。
  但不是所有题目都会这样干，只有觉得比较能够通用的时候才会收纳。（学长：但是很多总结在没有见到很明显的题目前是没有在里面的）

• 多做国内题，勤订正，勤总结。