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力学笔记

对一些条件求导/积分，比如 \(x_A=2x_C\Rightarrow a_A=2a_C,mv=MV\Rightarrow ms=MS\)，\(kv\) 的阻力有 \(-ks\) 的冲量变化。

\(a=\dfrac{v\mathrm dv}{\mathrm d x}\) 变成只与 \(v,x\) 相关。

斜抛沿斜向和纵向分解（斜坐标系）

速度 \(\vec e_r,\vec e_{\theta}\) 分解，用 \(r,\theta\) 关系，角动量守恒 \(L=r^2\dot{\theta}\) 消 \(\theta\)​ 分量。

有效势能也是同理。把动能的 \(v_{\theta}\) 用 \(L,r\) 消。

曲率半径构造运动：直角系就直接 \(x,y\)，笛卡尔系就构造 \(\theta=wt\)。

矢量：切向用导数定，法向用点乘 \(0\)​ 定义。

瞬间“转动”考虑角速度相等。

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惯性力 \(-ma\)。惯性离心力 \(mw^2\boldsymbol{r}\)，科氏力 \(2m\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{w}\)。欧拉力 \(mr\times \beta\)。这里面 \(a,w,\beta\) 是别人的，其他是自己的。

保守力 \(F(\boldsymbol{r})\) 的势能 \(E_p(r)={\displaystyle\int} _{r}^{零势能面} F(r) dr\)，这样才满足 \(E_k+E_p=\bf{Const}\)。

重力势能 \(mgh\)，离心势能 \(-\dfrac{1}{2} mw^2r^2\)，引力势能 \(-\dfrac{GMm}{r}\)，电势能 \(\dfrac{kQ}{r}\)。

（某方向上）无外力就动量守恒，无外力矩角动量守恒。

两体问题，且两体不受外力，才可能考虑约化。

木块不离开斜面 $\Leftrightarrow $ 支持力 \(N>0\)​。

\(f\) 静 \(\le \mu N\)；滑动，最大静 \(=\mu N\)，可以判断状态。

变质量问题：\((m,v,F)\bigoplus (\mathrm dm,v',F'):F\mathrm d t=m\mathrm d v+(v-v')\mathrm dm\)

连体问题：

• 只考虑要求的那段，做变质量问题。
• 整体使用动量定理。

三力汇交原理。平衡时，\(N-1\) 个共点力可推 \(N\) 力共点。

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善用资用能，\(e=\dfrac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2}\)，一次碰资用能 \(\times e^2\)​。

能量守恒就是用来导的。

支持力方向动量定理，瞎设一个 \(\Delta t\) 有妙用。

一是多一个速度方向的方程。

二是 \(N\) 动量定理 & \(f\) 摩擦力动量定理，若 \(\Delta t\) 相同则可列方程。\(\Delta t\) 不同则碰撞到共速。

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部分力不好分析大小，但是过定点这样，可以对这个定点分析力矩。

天体：\(mv_{\theta}r=L,\dfrac{1}{2}m(v_{\theta}^2+v_{r}^2)-\dfrac{GMm}{r}=E\)，面积速度 \(k=\dfrac{L}{2m}=\dfrac{1}{2}|\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{v}|\)，轨道 \(\rho=\dfrac{p}{1+\varepsilon\cos\theta}\)​

椭圆 \(E=-\dfrac{GMm}{2a}\)，抛物线 \(E=0\)，双曲线 \(E=\dfrac{GMm}{2a}\)

开三：\(\dfrac{A^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2}(1+\dfrac{m}{M})\)，当 \(M\gg m\) 时忽略 \(\dfrac{m}{M}\)

圆轨道可以列向心力。

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换质心系，分析各个物体相对质心的运动（平动，转动）。

柯尼希定理 \(E_k=\dfrac{1}{2}(\sum m_i)v_C^2+\dfrac{1}{2}\sum m_i(v_i-v_C)^2\)，平行轴定理 \(I_X=I_C+md^2\)

速度瞬心在速度的垂线上。

列方程：\(F_{合外}=ma_C\)，动能定理（转动平动都要列），\(M_{外}=I_C\beta\)，碰撞列动量。

纯滚动 \(v_C=wR,a_C=\beta R\) 等等。此时 \(f\) 不一定 \(\mu mg\)，只能说 \(\le \mu mg\)。

非纯滚动没有关联的方程，多了 \(f=\mu mg\)。

常见转动惯量：

• 杆 \(I_C=\frac{ml^2}{12}\)

• 细圆环 \(I_C=mr^2\)。

• 薄圆盘 \(I_C=\frac{1}{2}mr^2\)。

• 球体 \(I_C=\frac{2}{5}mr^2\)。

• 薄球壳 \(I_C=\frac{2}{3}mr^2\)。

\(p(r)=p_0-\varepsilon(r)\)，其中 \(\varepsilon(r)\) 是势能密度。

\(Q=\left\vert{\displaystyle\oint}_S \rho v\rm dS\right\vert,\rm d{\boldsymbol{p}}=Q\Delta {\boldsymbol{v}}\rm dt,F=Q\Delta {\boldsymbol{v}}\)。\(Q\) 守恒。小结论：功率 \(P=\Delta p\cdot Q_V\)，\(p\) 是压力差。

或者当密度相同时，令 \(Q_V=vS\)（下大部分采用这个）。

伯努利方程：\(\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh+p=C\)。

粘力 \({\rm d} f=\eta\dfrac{{\rm d} v}{{\rm d} z}{\rm d} S\)

\[{\rm d}W_{黏}+{\rm d}W={\rm d}E_k+{\rm d}E_p+{\rm d}E_{pr}\\ (p_1-p_2)+\dfrac{{\rm d}W_{黏}}{Q_V{\rm d}t}=\dfrac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)+\rho g(h_2-h_1)+\dfrac{{\rm d}E_{pr}}{Q_V{\rm d}t} \]

在没有其他势能情况下，\(p_1+\rho gh_1+\dfrac{1}{2}\rho v_1^2-w=p_2+\rho gh_2+\dfrac{1}{2}\rho v_2^2\)。

其中 \(w=-\dfrac{{\rm d}W_{黏}}{Q_V{\rm d}t}\)，表示单位体积流体在单位时间内克服粘力做功。

文丘里流量计：\(Q_V=\sqrt{\dfrac{2ghS_1^2S_2^2}{S_1^2-S_2^2}}\)

黏性圆柱泊肃叶公式：\(Q_V=\dfrac{\Delta p\pi r^4}{8\eta L}\)

球体在粘性液体中阻力，斯托克公式：\(f=6\pi r\eta v\)