9019 题解搬运

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我们来讲讲怎么按题意模拟。

前置知识：超级钢琴，可持久化可并堆（左偏树）

我们有个朴素“暴力”：注意到若一个连通块在前 \(k\) 小中，则其所有子连通块一定也在。

于是我们钦定一个连通块是由根向插最小生成的。

具体的，初始连通块的根（\(1\) 根下深度最小的点）被生成，每次插入当前儿子邻域内在连通块内的最小值。（避免父子邻域交叉的混乱情况）

像 dij 那样每次拎出当前最小的，然后按上述尝试往外扩张，这时候用堆模拟能做到 \(O(kn+k\log n)\)。

没有实现过，可能跑不满通过很多数据？

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注意到浪费的时间在于扩张邻域每次 \(O(n)\)，因为有一些扩张后我们可能用不上（不在前 \(k\) 小），就浪费了。

我们扩张顺序肯定是最小 \(\to\) 次小 \(\to\) 第三小 \(\cdots\) 这样精准扩张才能不造成浪费。

我们考虑对一个连通块，维护一个邻域堆，扩张的过程形如：每次先扩张最小值（然后邻域堆加入这个点的邻域），

删最小值，接着扩张，注意这时上个最小值其实不在此时扩张的连通块内。

然后在答案堆中维护当前连通块的权值和，扩张前的权值和，当前的邻域堆。

然后邻域堆要支持：可持久化合并，删最小值，查最小值，就是可持久化可并堆了。

代码很简短，不理解可以通过代码理解。

由于每个邻域只会被合并一次，复杂度 \(\mathcal{O}((n+k)\log n)\)。

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