随机父亲的树 lca(u,v)=w 概率

如下定义随机生成树的过程：

• 依次 \(k:2\to n\)，独立均匀随机 \([1,k-1]\) 的一个数作为 \(fa_k\)。

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记 \(P(u,v,w)\) 表示 \(\text{lca}(u,v)=w\)​ 的概率，其中保证 \(u< v\)。

考虑 \(v\) 往上跳的过程，你发现 \(v\) 祖先中第一个 \(\le u\) 的值的是均匀分布的。

由于 \(fa_v\) 的均匀性，每次 \(fa_v\) 若 \(\le u\) 则概率一定是均等的，否则递归进行，因此一直都是均等的。

然后我们写递推关系式，拎出来 \(v\) 直接跳到 \(u\) 的情况：

\[\begin{aligned} P(u,v,w)&=\dfrac{1}{u}\left([u=w]+\sum\limits_{i={\color{red}1}}^{u-1} P(i,u,w)\right) \\&=\dfrac{1}{u}\left([u=w]+\sum\limits_{i={\color{green}w}}^{u-1} P(i,u,w)\right) \end{aligned} \]

知 \(P(u,v,w)\) 与 \(v\) 无关，记作 \(P(u,w)\)。

注：由 \(v\) 跳到 \(\le u\) 的值均匀分布就能知道和 \(v\) 无关了。

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带入 \(u=w\) 显然有 \(P(u,u)=\dfrac{1}{u}\)。

否则剥离 \(i=w\) 项有：

\[P(u,w)=\dfrac{1}{u}\left(\dfrac{1}{w}+\sum\limits_{i=w+1}^{u-1} P(i,w)\right),w<u \]

逐步带入 \(w=u-1,u-2,\cdots\) 发现：

\[P(u,u-1)=\dfrac{1}{u(u-1)}\\ P(u,u-2)=\dfrac{1}{(u-1)(u-2)} \\ \vdots \\ P(u,w)=\dfrac{1}{w(w+1)} \]

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总结一下：

\[P(u,v,u)=\mathbf{\dfrac{1}{u}} \\ P(u,v,w)=\mathbf{\dfrac{1}{w(w+1)},w<u} \]