动态规划进阶

第一类 · 树形动态规划

问题一：求树上最大独立集

题意描述

　　有一棵大小为 $n$ 的树，其中有 $n-1$ 组点有连边，请找到大小最大的一个集合，使得树中以编号为集合内元素的节点两两无直接连边。

　　$n \le 5000$。

　　（简单讲，就是从一棵树内找到尽可能多的点，并且这些点两两没有连边）

算法一（非通过算法）

　　我们可以枚举每一个点选或不选，选完了判断是否成立。时间复杂度为 $O(2^n)$，肯定会超时。

算法二（贪心，可通过）

　　先把所有叶子节点选入。

　　对于每个节点，如果我能确定它选，那么它的父亲就不能选；如果我能确定它不选，那么它的父亲就可以选。

　　这样把树上每个节点都标记了 选 / 不选，所有选的点就是一个最大独立集。

　贪心证明：

　　如果不选叶子节点，那么选中的父亲节点数量一定不大于叶子结点（一个父节点至少有一个子节点），每一步选的点数比同级贪心做法少。

　　所以贪心做法保证了每一步的不劣性。

问题二：求树上最大带权独立集