数学·排列组合

一、排列组合初步

规定，\(n,m\in R_+,m\leq n\) 。

排列的定义：

从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m\) ( \(m\leq n\) , \(m\) 与 \(n\) 均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个排列；从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) ( \(m\leq n\) ）个元素的所有排列的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的排列数，用符号 \(A(n,m)\) 或 \(A_n^m\) 表示。

例如，对于 \(1,2,3\) 经行 \(A_3^3\) 的排列得出方案如下：

\(\{123\},\{132\},\{213\},\{231\},\{321\},\{312\}\)

即得 \(A_3^3=6\) 。

排列数的公式及证明：

对于 \(A_n^m\) 来讲，每一个方案都类似与一个队列。

在第一个位置上，可以从 \(n\) 个元素中任取一个，有 \(n\) 种选择；

在第二个位置上，有 \((n-1)\) 种选择；

在第三个位置上，有 \((n-2)\) 种选择；

……

在第 \(m\) 个位置上，有 \((n-m+1)\) 种选择。

显然可得：

\(A_n^m=n\cdot (n-1)\cdot (n-2) …… (n-m+1)\)

再有以下推导：

\(A_n^m=(n-m+1)\cdot (n-m+2) ……(n-1)\cdot (n-2)\cdot n\)

\(A_n^m=\frac{1\cdot2\cdot3 …… (n-m) \cdot(n-m+1)\cdot (n-m+2) ……(n-1)\cdot (n-2)\cdot n}{1\cdot2\cdot3 …… (n-m) }\)

\(A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)

特别地，\(0!=1\) 。

组合的定义：

从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m\) \((m≤n)\) 个元素并成一组，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个组合；从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) \((m≤n)\) 个元素的所有组合的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的组合数。用符号 \(C(n,m)\) 或 \(C_n^m\)表示。
当然，更加常见的写法是 \({n}\choose{m}\)，也就是 \(n\) 个不同东西中选 \(m\) 个的方案数。

例如，对于 \(1,2,3\) 经行 \(C_3^2\) 的组合得出方案如下：

\[\{12\},\{13\},\{23\} \]

即得 \(C_3^2=3\) 。

组合数的公式及证明：

显然，组合是一种无序的排列。由此进行推导。

• 在排列方案中，同一种组合会出现几次？

设排列数 \(A_n^m\) ，则该组合中的元素个数为 \(m\) 。

而对于当前组合，其不同排列有 \(A_m^m=\frac{m!}{0!}=m!\) 个。

即，同一种组合方案，会在排列中出现 \(m!\) 次。

得

\(C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!\cdot (n-m)!}\)

排列组合的几点性质：

\(C_{n}^{m}=C_n^{n-m},A_n^m=C_n^m \cdot m\)

\(A_n^m=(n-m+1)\cdot (n-m+2) ……(n-1)\cdot (n-2)\cdot n\)

\(C_n^m=\frac{(n-m+1)\cdot (n-m+2) ……(n-1)\cdot (n-2)\cdot n}{1\cdot2\cdot3 ……m}\)

\(C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\)

证明：
显然，\(n!=(n-1)!\cdot n\)
\(C_{a-1}^{b}+C_{a-1}^{b-1}\)
\(=\frac{(a-1)!}{b!\cdot (a-b-1)!}+\frac{(a-1)!}{(b-1)!\cdot (a-b)!}\)

\(=\frac{(a-1)!\cdot [(b-1)!\cdot (a-b)!+b!\cdot (a-b-1)!]}{b!\cdot (a-b-1)!\cdot (b-1)!\cdot (a-b)!}\)

\(=\frac{(a-1)!\cdot [(b-1)!\cdot (a-b-1)!\cdot(a-b)+(b-1)!\cdot b\cdot (a-b-1)!]}{b!\cdot (a-b-1)!\cdot (b-1)!\cdot (a-b)!}\)

\(=\frac{(a-1)!\cdot (b-1)!\cdot (a-b-1)![(a-b)+b]}{b!\cdot (a-b-1)!\cdot (b-1)!\cdot (a-b)!}\)

\(=\frac{(a-1)!\cdot (b-1)!\cdot (a-b-1)!\cdot a}{b!\cdot (a-b-1)!\cdot (b-1)!\cdot (a-b)!}\)

\(=\frac{(a-1)!\cdot a}{b!\cdot(a-b)!}\)

\(=\frac{a!}{b!\cdot(a-b)!}=C_a^b\) ，证毕。

\(C_n^0=1(n\in N_+),C_1^0=1,C_1^1=1\)

二、“组合数是整数”的证明

\(n,k\in N_+\)且\(k\leq n \Rightarrow C_n^k\in N_+\)

• 数学归纳法：

当 \(n=1\) 时，\(C_n^0=C_1^1=1\)，显然是整数。

当 \(n\neq 1,0\leq k \leq n-1\) 时，设 \(C_{n-1}^k(k\in[1,n-1])\) 为整数，

\(C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{n}{k}\cdot\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot (n-k)!}=\frac{n}{k}\cdot C_{n-1}^{k-1}\)

\(C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{n}{n-k}\cdot\frac{(n-1)!}{k!\cdot (n-k-1)!}=\frac{n}{n-k}\cdot C_{n-1}^{k}\)

发现，\(C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}\)

则 \(C_n^k\) 也为整数，证毕。

三、Lucas定理

一、定理内容：

对于素数 \(p\) 以及正整数 \(m, n(m>n)\) 来讲，\(m,n\) 在 \(p\) 进制下面有表示

\(m=a_0\cdot p^0+a_1\cdot p^1+……+a_k\cdot p^k\)

\(n=b_0\cdot p^0+b_1\cdot p^2+……+b_k\cdot p^k\)

那么

\[C_m^n \equiv \prod\limits_{i=0}^{k}C_{a_i}^{b_i}(\mod p) \]

她的另一种表现形式是

\[{n\choose m}\equiv{\lfloor n/p\rfloor\choose\lfloor m/p \rfloor}{n\mod p\choose m\mod p} (\mod p) \]

二、定理证明：

视频

• 引理1：对于素数 \(p\) 以及 \(k\in[1,p-1]\)来讲，\(p \mid C_p^k\)(即 \(C_p^k\mod p=0\)) 成立。

• 引理1证明：

\(\because C_p^k=\frac{p!}{k!\cdot (p-k)!}=\frac{p}{k}\cdot \frac{(p-1)!}{(k-1)!\cdot (p-k)!}=\frac{p}{k}\cdot C_{p-1}^{k-1}\)

\(\therefore k\cdot C_p^k=p\cdot C_{p-1}^{k-1}\)

\(\therefore p \mid k\cdot C_p^k\)

\(\because \gcd(p,k)=1\)

\(\therefore p\mid C_p^k\)

证毕。

• 引理2的内容和证明：

resauce

对于任意整数 \(x,y\) 来讲，\((x+y)^p=x^p+\sum\limits_{k=1}^{p-1}C_p^k\cdot x^k\cdot y^{p-k}+y^p\)

由引理1可得 \(p\mid \sum\limits_{k=1}^{p-1}C_p^k\cdot x^k\cdot y^{p-k}\) 成立。

则得 \((x+y)^p \equiv x^p+y^p (\mod p)\) 。

也可得

\((x+y)^{p^2} \equiv (x^p+y^p)^p (\mod p)\)

\((x+y)^{p^2} \equiv x^{p^2}+y^{p^2} (\mod p)\)

则推得\((k\in N_+)\)

\((x+y)^{p^k} \equiv x^{p^k}+y^{p^k} (\mod p)\).

四、卡特兰（Catalan）数

一、引入

• 姐妹洗碗问题：
  姐姐妹妹一起洗 \(5\) 个互不相同的碗，姐姐洗好的碗一个一个往上摞，妹妹再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，姐姐一边洗，妹妹一边拿，那么妹妹摆好的碗一共有______ 种不同的摆法。

方法： whitworth 路线（W路线）

我们设向右走一个单位为洗好一个碗，设向上走一步为摞好一个碗，则在坐标系中

显然，路线不能跨过红线（因为拿的数量不能超过洗好的数量），到达每个点的方案数已标出。

发现，每一个点的方案数等于其左边的与下边的方案数之和（无方案数视为 \(0\) ）。

然而，红线上的数列，就是卡特兰数列。

当然，红线上的数也是合法路径的数量，而这个数量如何求？

对于到 \((5,5)\) 的路径来讲，显然，绿线是一条合法路径，而橙线是非法路径，而凡是非法路径，都会经过或挨着紫线，将第一次经过或挨着紫线的位置之后的路径部分以紫线为对称轴作对称图形，即黄线所示，发现，其都会到达 \((4,6)\) 。

到达任意一点 \((n,n)\) 的方案数为 \(C_{2n}^{n}\) ，则结合容斥原理得到合法路径数

$ cat(n,n)=C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n-1}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}-\frac{(2n)!}{(n-1)!\cdot (n+1)!}=\frac{(2n)!\cdot (n+1)}{n!\cdot n!\cdot (n+1)}-\frac{(2n)!\cdot n}{n!\cdot n!\cdot (n+1)} $

\(\frac{(2n)!\cdot (n+1)}{n!\cdot n!\cdot (n+1)}-\frac{(2n)!\cdot n}{n!\cdot n!\cdot (n+1)}=\frac{(2n)!\cdot 1}{n!\cdot (n+1)!}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\cdot \frac{1}{n+1}\)

\(cat(n,n)=C_{2n}^{n}\cdot \frac{1}{n+1}\)

二、卡特兰数的定义

卡特兰数（英语：Catalan number），又称卡塔兰数、明安图数，是组合数学中一种常出现于各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字来命名。1730年左右被蒙古族数学家明安图使用于对三角函数幂级数的推导而首次发现，1774年被发表在《割圜密率捷法》。

上面的引入里，我们已经推导到了卡特兰数的通项公式,这里再推一下递推式

\(cat(n+1)=\frac{1}{n+2}\cdot C_{2n+2}^{n+1}\)

\(=\frac{1}{n+2}\cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)!\cdot (n+1)!}\)

\(=\frac{1}{n+2}\cdot \frac{(2n+2)\cdot (2n+1)}{(n+1)}\cdot \frac{1}{n+1}\cdot \frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\)

\(\frac{4n+2}{n+2}\cdot cat(n)\)

即得 \(cat(n+1)=\frac{4n+2}{n+2}\cdot cat(n)\) 。

但是，显然卡特兰数的增长时十分恐怖的，所以如果按照递推式来算，那么很难做出处理（例如取模，特别是模的还不是素数），现在我们需要“搞点”更“方便”的公式。

\(cat_n=\left \{ \begin{array}{rcl} 1(n=0,1) \\ \sum\limits_{k=1}^{n-1}h_{k}\cdot h_{n-k} (1 < n) \end{array}\right.\)

五、二项式定理

我们都知道 \((a+b)^2=a^2+2\cdot ab+b^2\) ,那么对于 \((a+b)^n\) 又应该如何展开呢？

\((a+b)^n=?\)

显然，上式展开会有很多单项式，而每个单项式或多或少会带有 \(a\) 或 \(b\) ，就像完全平方公式一样，那么对于每一个单项式来讲，它可以是 \(n\) 个 \(a\) 相乘，也可以是某个系数乘上 \(n-1\) 个 \(a\) 和 \(1\) 个 \(b\) （因为你可以从仍何一个 \((a+b)\) 中取 \(a\) ，所以是某个系数），如此类似，那么每一项必包含以下某一个式子：

\(a^n,a^{n-1}b,a^{n-2}b^2,……,a^{n-r}b^r,……,ab^{n-1},b^n\)

那么，他们的系数呢？

我们知道，他们可以看成从 \((a+b)\) 中选 \(a\) 或 \(b\) 来相乘，也就是组合数，具体的讲就是，

从 \(n\) 个 \((a+b)\) 中拿 \(n\) 个 \(a\) 和 \(0\) 个 \(b\) 的方案数为 \(C_n^n=1\) ，

从 \(n\) 个 \((a+b)\) 中拿 \(n-1\) 个 \(a\) 和 \(1\) 个 \(b\) 的方案数为 \(C_n^{n-1}\) ，

从 \(n\) 个 \((a+b)\) 中拿 \(n-2\) 个 \(a\) 和 \(2\) 个 \(b\) 的方案数为 \(C_n^{n-2}……\)

从 \(n\) 个 \((a+b)\) 中拿 \(n-r\) 个 \(a\) 和 \(r\) 个 \(b\) 的方案数为 \(C_n^{n-r}\) （选 \(n-r\) 个 \(a\) ，剩下的全选 \(b\)）
即得

\(C_n^n\cdot C_n^0\cdot a^{n}b^{0}+C_n^{n-1}\cdot C_n^1\cdot a^{n-1}b^{1}+C_n^{n-2}\cdot C_n^2\cdot a^{n-2}b^{2}+……+C_n^0\cdot C_n^n\cdot a^{0}b^{n}\)

至此，二项式定理大成。

\((a+b)^n=C_n^n\cdot a^{n}b^{0}+C_n^{n-1}\cdot a^{n-1}b^{1}+C_n^{n-2}\cdot a^{n-2}b^{2}+……C_n^{n-r}\cdot a^{n-r}b^{r}……+C_n^0\cdot a^{0}b^{n}\)

化得

\((a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^{n-i}\cdot a^{n-i}b^i\)