约瑟夫问题

约瑟夫问题

\(n\)个人围成环，顺序编号，从\(1\)号开始依次报数，报到\(m\)的人出局，从他的下一位开始重新报数，问最后剩下的人的编号

方法很多，下面主要是公式法

递推公式：

\(f(1) = 0\)

\(f(i) = [f(i-1)+m]\%i\)

\(ans = f(n) + 1\)

约瑟夫问题优化

当\(k=1\)的时候，\(i\)每增加\(1\)编号\(+1\)，可以直接算出\(f(n) = f(1) + n - 1\)

当\(n\)很大的时候，可以按照这种思路简化递推过程。

在递推过程中，\(f(x) + m\)会在很长的范围内\(<i\)

假设有\(p\)个范围， 那么这些范围合并后的结果就是\(f(x) + p\times m\)。可以直接算出答案，跳过部分递推过程

条件限制为\(f(x) + p\times m < i + (p - 1)\)

证明

当\(p = 1\)时，条件限制为\(f(x) + m < i\)

当\(p = 2\)时，条件限制为\(f(x+1) + m < i + 1 = f(x) + 2\times m < i + 1\)

当\(p = p\)时，条件限制为\(f(x) + p\times m < i + (p - 1)\)

化简可得到\(m < \frac{i - f(x)- p - 1}{p}\)

这样，\(i += p\)，\(f(x) += m\times p\)，跳过部分递推过程。

若\(i + p > n\)，说明跳越界了，这时候可以直接算出\(f(n) = f(x) + (n - i - 1)\times p\)。

约瑟夫问题的变形

\(n\)个人围成环，顺序编号，从\(1\)号开始依次报数，第\(i\)轮报到\(i\)的人出局，从他的下一位开始重新报数，问最后剩下的人的编号

思路：和原本的约瑟夫问题的唯一区别是：\(m\)值不固定。

将最后剩下的人记作\(q\)，那么在上一轮(第\(x-1\)轮)中的出局者所报的号为\(x-1\),第\(x\)轮中\(q\)的报号为\(x\)

可以得出公式\(f(n) = (f(n-1) + n - (i - 1)) % i\)，\(i\in [2,n]\),\(n - (i - 1)\)是进行每一轮时的人数