【树状数组 二分】中位数之中位数

题意

给出一个长度为\(n\)的序列\(a\)，首先求出其所有区间的中位数，将这些中位数构成的集合记为\(S\)，求\(S\)中所有数的中位数。
此题中位数指：有\(n\)个数，第\(\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1\)个数即为中位数。

数据范围：\(1\leq n\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^9\)。

思路

因为求的是\(S\)的中位数，发现答案具有单调性，考虑二分。

二分答案记为\(x\)，判断它是否是\(S\)的中位数。那就要看区间中位数\(\leq x\)的有多少个，从而确定这个数在集合\(S\)中的位置，记为\(res\)。
发现如果枚举的时间复杂度高，可以转换一下方式，考虑判断单个区间\([l,r]\)的中位数与\(x\)的大小关系，再看有多少个满足条件的区间。

设\(p_i\)为\([1,i]\)中\(>x\)数的个数。如果区间\([l,r]\)的中位数\(\leq x\)，可以得到\(r-l+1>2*(p_r-p_{l-1})\)(即\(>x\)的个数没有达到区间个数的一半)。
然后看这个判断的式子，可以变成\(r-(l-1)>2*(p_r-p_{l-1})\)，移项变成\(r-2*p_r>(l-1)-2*p_{l-1}\)。
发现对于一个区间右端点\(r\)，满足这个式子的\(l-1\)的个数即为\(res\)。可用树状数组维护这个答案。

然后就是根据\(res\)进行答案区间的缩小。记实际中位数的位置为\(w\)，因为求的\(res\)是\(\leq x\)的个数（即是一段相同的\(x\)的最后一个，如122333中2的res是3,3的res是6），所以满足\(x\)的范围包括了\(w\)，即要使\(res\)是\(w\)的后继（第一个\(\geq w\)的数），所以二分求的是这么一个东西。

一些细节：\(S\)的区间长度会超出\(int\)。
对于\(i-2*p_i\)这个东西的范围，是\(-n\sim n\)的，所以下标都加上\(n\)
二分的细节，比较多，建议重新看回蓝书。详见代码。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define int long long

int n, m;
int a[100001], b[100001], p[100001], t[200001];

void add(int x) {
	for (; x <= 2 * n; x += x & -x)
		t[x]++;
}

int query(int x) {
	int res = 0;
	for (; x; x -= x & -x)
		res += t[x];
	return res;
}

int check(int x) {
	int tot = 0;
	memset(t, 0, sizeof(t));
	add(n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		p[i] = p[i - 1] + 2 * (a[i] > x);
		add(i - p[i] + n);
		tot += query(i - p[i] + n - 1);
	}
	return tot < m / 2 + 1;
}

signed main() {
	scanf("%lld", &n);
	m = n * (n + 1) / 2;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld", &a[i]), b[i] = a[i];
	std::sort(b + 1, b + n + 1);
	int tot = std::unique(b + 1, b + n + 1) - (b + 1);
	int l = 1, r = tot;
	while (l < r) {
		int mid = l + r >> 1;
		if (check(b[mid])) l = mid + 1;//求后继，那么在check之后，发现mid不满足，所以我们可以令l为mid+1
		else r = mid;//发现mid满足，试图求出最小的，所以mid这个答案要先保留，所以令r=mid
	}
	printf("%lld", b[l]);
}