tricks

先警示一下

认真阅读题目（有的题目中包含部分解题信息）

注意预处理，离线之类。

简单的差分思想有时优化显著。

对于序列区间操作问题，尝试将其通过前缀和或差分转化为单点操作，对复杂度/推式子/再次优化有很大帮助。

异或哈希前缀和

如果不是这道题，甚至不知道这个

作用：判断区间内某个值是否出现偶数次。

原理： $a\bigoplus a=0$

求异或前缀和，若 $sum_{l-1}=sum_r$ ，则 $col_r$ 出现偶数次。

（利用随机数赋值实现哈希效果,用mt19937_64, rand 太弱）

mt19937_64 rnd(time(0))

线段树叶子结点非空子集数为 $2^n-1$ 个

网络流：

拆点，建虚点，考虑inf的不同含义。

割表示选择或舍弃。

建图时借鉴之前思路，但不要局限于固有思维

判断质因数种类是否相同：

点击查看代码

for (int j = 1; j <= tot; ++j)
        for (int i = pri[j]; i <= n; i += pri[j])
        {
            e[i].push_back(j);
            ++cnt[j];
        }

之后map套vector判断

0/1矩阵，即邻接矩阵可转化成图论。

邻接矩阵的幂次表示路径的长度，即步数或跳数。

具体来说，一个图的邻接矩阵 $A$ 的 $k$ 次幂中的元素 $a_{i,j}$ 表示顶点 $i$ 和顶点 $j$ 之间长度为 $k$ 的路径的数量。

若原问题没思路可以先考虑其弱化版。

实数域上二分时加减eps （变化量不是1）

example

ldb l = 0, r = 10000000, ans = r;
    while (r - l > eps)
    {
        ldb mid = (l + r) / 2.0;
        if (check(mid))
            r = mid - eps, ans = mid;
        else
            l = mid + eps;
    }

trie 空间复杂度为 $\sum len$

线性阶乘逆元倒推$O(n)$求

example

inline void init()
{
    jc[0] = inv[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        jc[i] = jc[i - 1] * i % mod;
    inv[n] = km(jc[n], mod - 2);
    for (int i = n - 1; i; --i)
        inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

$\vee$为或，即 |，$\land$为与，即 &。

$+$ : $a + b=a \vee b + a\land b $

$\oplus$ : $a \oplus b=a \vee b - a\land b $

$\therefore c+d=a + b , c-d=a \oplus b ,d \subseteq c$

合法括号串：'('看作 1，')'看作 -1，前缀和为0且对于 $l \le i \le r$ 都有 $sum_r \le sum_i$ 即合法。

多个串的border相关问题:
建fail树，树上做（若最长公共border长为lca）

关于树的重心：
性质：$dfn_i$与 $dfn_{(i+\frac{n}{2}-1)\%n+1}$ 一定不在同一连通块内（删重心后）
考虑该点是重心，则显然成立。
不是重心，则重心的祖先结点不超过$\frac{n}{2}$个，$i+\frac{n}{2}$一定不与 $i$ 在同一连通块内

如果两条路径相交，那么一定有一条路径的LCA在另一条路径上

01序列排序：$O(\log n)$
线段树求区间和，区间推平

曼哈顿距离与切比雪夫距离转化

枚举二进制子集

点击查看代码

for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i)//j是i二进制表示下的所有真子集的集合
    cout<<j<<<' ';

对于string的赋值：

可以使用s[i]='*'的形式单点修改，也可写s+=t在后面连接。

特别注意，第一种形式要提前开够空间（它不会帮你动态分配空间）

如

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

signed main()
{
    string s;
    s[0] = 'o';
    cout << s << "\n";
    return 0;
}

输出空串。

原因是空间不够。

应在赋值前开够手动空间。

改为

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

signed main()
{
    string s;
    s.resize(10);
    s[0] = 'o';
    cout << s << "\n";
    return 0;
}

即可正常输出。

若使用字符串拼接的方式修改(即s+=t)则无需担心空间。

之前好多次因为这个出错，所以以为string单修不对，今天终于揭秘了，原来是空间的问题。

关于滚动数组

好像之前写假过。

线段树空间应开到$2^{\left \lceil \log_2n \right \rceil}$.

动态开点线段树建议开到$2\left \lceil \log_2n \right \rceil$倍大小。

这道题记录一下。

本来想直接整体二分，结果就是TLE+MLE。

考虑类似扫描线思想：

我们对时间轴扫描，在时间上依次加入或删除。

之后线段树上二分求前缀或和。

即可轻松解决（卡空间，线段树只能开2倍）

$n$ 以内的素数为 $\frac{n}{\ln(n)}$级别，可优化复杂度。

推式子时有模，可考虑模的定义来拆模:

$x \mod y=x-\lfloor\frac{x}{y}\rfloor y$

有的式子中的位运算可拆位求，即拆为二进制每一位如何操作（找不到哪到题了）。

并查集维护序列段。

P1840
附题解

posted @ 2025-08-20 22:06 HS_fu3 阅读(22) 评论(0) 收藏举报

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异或哈希前缀和

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