算法学习Day38斐波那契数、爬楼梯

Day38斐波那契数、爬楼梯

By HQWQF 2024/01/22

笔记

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509. 斐波那契数

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

• 输入：2
• 输出：1
• 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

• 输入：3
• 输出：2
• 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

动态规划

最直接的方法当然是递归，但是我们可以通过这题了解一些动态规划。

动态规划就是维护一张动态规划表，表的新一项的值是根据表前面的元素决定的，也就是所谓状态转移方程（递推公式）。我们就依据这个动态规划表不断扩展，最后动态规划表中的某一项就是解。

使用动态规划有几个步骤：

1. 确定dp数组以及下标的含义
2. 确定递推公式(状态转移方程)
3. dp数组如何初始化(既然要递推，那么初始几项的值必须确定)
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        vector<int> dp(n+1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2;i <= n;i++)
        {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

另外其实我们可以只用两个元素来解决的：

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) return N;
        int dp[2];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            int sum = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = sum;
        }
        return dp[1];
    }
};

71.爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶
2 阶
示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

动态规划

对于我们要上的n级台阶，我们可以从n-1爬一级上，或者从n-2爬两级上，而要上n-1级和n-2级也是一样的道理。

此时我们发现这里的递推公式就是斐波那契数列，理论上可以照搬代码。

但是我们发现，在这里dp[0]是没啥意义的，所以尽量不用，更改一下dp表的初始化即可。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        vector<int> dp(n+1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 3;i<=n;i++)
        {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

746. 使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入： cost = [10,15,20]

输出： 15

解释： 你将从下标为 1 的台阶开始。

• 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。

总花费为 15 。

动态规划

动态规划的一个精要在于，如果我们在维护dp表的过程中秉持最小或者最大的原则，往往后续得到的项也就是最小或者最大的。

对于这题，我们可以维护一个到达某层楼最小花费的表，表的某项等于该层a的前一级和前两级上该层a花费更小的那层b的上a层花费加上层b的值（即到达层b楼最小花费）。

值得注意的是dp代表的是到达某层楼最小花费，cost代表该一层到达下一层的花费，所以cost就不包含顶层，而dp包含顶层，所以dp的大小会大一点。

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        vector<int> dp(cost.size()+1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for(int i = 2;i <= cost.size();i++)
        {
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);   
        }
        return dp[dp.size()-1];
    }
};