数学笔记

2025.9.28

抛物线面积

\(\sum\limits_{0}^{+\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^i=\frac{4}{3}\)

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阿基米德

公理：\(\forall a,b\) 满足 \(\exist \ t\) 满足 \(a>\left(\frac{1}{2}\right)^t\cdot b\).

证明 \(S=\pi r^2\)

定义 \(A\) 为圆的面积；

\(T\) 为积分后三角形面积，底为 \(2\pi r\)，高为 \(r\)；

\(P_n\) 为圆的内切 \(n\) 多边形面积。

即需证明 \(A=T\)。

考虑反证法：

1. 假设 \(A>T\):

   \(P_4<T,P_8<T...\)

   定义 \(C_n=A-P_n\)

   则满足 \(C_{2n}=\frac{1}{2}C_n\)

   根据公理可知，\(\exist \ m\) 满足 \(C_m<A-T\)，即 \(A-P_m<A-T\)，即 \(P_m>T\)，矛盾。

2. 假设 \(A<T\):

   \(P_4>T,P_8>T...\)

   定义 \(C_n=P_n-A\)

   则满足 \(C_{2n}=\frac{1}{2}C_n\)

   根据公理可知，\(\exist \ m\) 满足 \(C_m<T-A\)，即 \(P_m-A<T-A\)，即 \(P_m>T\)，矛盾。

综上，\(A=T\)，证毕。

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牛顿流数术

很不严谨

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莱布尼兹微积分

\(y=x^n\)

\(\mathrm{d}y=(x+\mathrm{d}x)^n-x^n\)

\(\mathrm{d}y=\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^i\cdot x^{n-i}\mathrm{d}x^i-x^n\)

\(\mathrm{d}y=\sum\limits_{i=1}^{n}C_n^i\cdot x^{n-i}\mathrm{d}x^{i-1}=nx^{n-1}\)

差分与求和。

\(\int_{a}^{b}f'(x)\cdot \mathrm{d}x=f(b)-f(a)\).