模拟赛题解

T1 辣椒树

题面描述

给定一颗树，求分成三部分后的最小差异值。

• 子任务一，\(20\)分，保证 \(N ≤ 200\)；
• 子任务二，\(30\)分，保证 \(N ≤ 2000\)；
• 子任务三，\(50\)分，\(N ≤ 2 × 10^5\)。

题解

暴力：每次枚举两个点，将其父边断掉，如果存在祖先关系则特判一下，复杂度 \(O(n^2)\) ，预计 \(50pts\)

正解： \(dfs\) 搜索每个结点，砍掉它的父边，剩下的尽量等分（易证）。

这一步可以用 \(multiset\) 维护。

对于一个点，将其到根节点的链上的点放入 \(s2\) ，再将这条链左边的所有点放入\(s1\)

然后令 \(x= \dfrac{n-siz[u]}{2}\)。 在 \(s1\) 中查找最靠近 \(x\) 的两个数，在 \(s2\) 中查找最靠近 \(x+siz[u]\) 的两个数，四种情况讨论一下。

细节：\(dfs\) 到一个点时将其放入 \(s1\)，回溯的时候将其从 \(s1\) 中删除，并插入到 \(s2\) 中。

预计 \(100pts\) 。

code

T2 括号序列

题面描述

给你一个由小写字母组成的字符串 \(s\)，要你构造一个字典序最小的合法的括号序列与这个字符串匹配。

字符串和括号序列匹配定义为：首先长度必须相等，其次对于一对匹配的左括号和右括号 \(i,j\)，必须有 \(s_i=s_j\)。

无解输出 -1。

对于 10% 的数据，保证 \(2 ≤ |S| ≤ 20\)。

对于 50% 的数据，保证 \(2 ≤ |S| ≤ 7000\)。

对于 100% 的数据，保证 \(2 ≤ |S| ≤ 10^5\)。

题解

暴力1：直接 \(dfs\) 枚举每个位置状态，复杂度 \(O(2^n)\) ，预计 \(10pts\) 。

暴力2：考虑贪心，如果一个左括号有多个合法的右括号匹配，则一定选最靠右的，而一对括号匹配当且仅当字符相同且中间部分可以完全匹配。

怎么判断能否一段连续区间可以完全匹配呢？我们可以用栈模拟！

假设该区间为 \([l, r]\) 。如果栈在 \(l-1\) 时的形态与 \(r\) 时的形态相同，则可以匹配。

而栈的形态我们可以用字符串哈希记录。

所以我们只需要 \(O(n)\) 预处理出每个位置的哈希值，然后对于每一个点，从右往左找第一个哈希值相等的位置，递归处理即可。复杂度 \(O(n^2)\) ，预计 \(50pts\) 。

正解：现在的瓶颈是如何 \(O(1)\) 找到最靠右的匹配位置。

我们可以每个点的哈希值离散化并存入 \(vector\) 中进行分类。

然后对于当前状态 \(dfs(l, r)\) ，我们二分坐标在 \([l, r]\) 范围中与 \(l\) 匹配且最靠右的位置，即在 \(vec[hash[l]]\) 中进行 upper_bound。

最后复杂度均摊下来就是 \(O(nlogn)\) ，预计 \(100pts\) 。

code

T3 路由表

题面

link

题解

暴力1：按照题意模拟即可，复杂度 \(O(32n^2)\) ，预计 \(30pts\) 。

暴力2：将 \(IP\) 地址用 unsigned int 存下来，比较 \(a\)，\(b\) 是否匹配就只需要判断 \((a>>len)==(b>>len)\) 即可，复杂度 \(O(n^2)\)，预计 \(50pts\) 。

正解：考虑将当前插入的所有 \(IP\) 地址建成一颗 \(01Trie\) ，结尾打上标记。

对于每次询问，将路径上的所有标记存入一个维护单调递增序列的栈，二分 \(l\) 和 \(r\) 的位置并计算一下差值就行了。（信息量有些大......）

复杂度线性，预计 \(100pts\) 。

code

T4 旅游路线

题面

link

题解

此处只讲正解。

因为钱花得越多，走的路程也就越多，所以可以二分钱数，然后判断最远路程是否符合预期。

定义 \(f[i][j]\) 表示从 \(i\) 出发，初始油空，用了不超过 \(j\) 的钱，最多能跑多远。

\(f[i][j]=max(f[k][j-c[i]]+w[i][k])\)

其中 \(w[i][j]\) 表示从 \(i\) 走到 \(j\) ，初始油满（假设为 \(C\) ），最多能跑多远。

计算 \(w[i][j]\) 采用倍增。

预处理 \(dis[k][i][j]\) 表示用了 \(2^k\) 的油，从 \(i\) 到 \(j\) 最多能跑多远。

\(dis[k][i][j]=max(dis[k-1][i][mid]+dis[k-1][mid][j])\)

辅助地，定义 \(g[k][i][j]\) 表示依次考虑了 \(2^0\) ，\(2^1\) ，\(2^2\) ，......，\(2^k\) 的油耗，从 \(i\) 到 \(j\) 最多能跑多远。

若 \(C\) 二进制下第 \(k\) 位是 \(0\) ，那么 \(g[k][i][j]=g[k-1][i][j]\) 。

若 \(C\) 二进制下第 \(k\) 为是 \(1\) ，那么 \(g[k][i][j] = max(g[k - 1][i][mid] + dis[k][mid][j] )\) 。

最后 \(w[i][j]=g[k_{max}][i][j]\) 。

\(DP\) 采取记忆化搜索。

复杂度 \(O(n^3logC)\) ，预计 \(100pts\) 。

code