期望线性性的证明

命题：有两个随机变量 \(X,Y\) （不保证二者相互独立）那么 \(\text E(X+Y) = \text E(x) + \text E(Y)\)

证明：

\[\begin{align*} \text E(X+Y) &= \sum_{x=0}^{+\infty} \sum_{y=0}^{+\infty} \text P(X=x,Y=y)\times(x+y) \\ &=\left( \sum_{x=0}^{+\infty} \sum_{y=0}^{+\infty} \text P(X=x,Y=y)\,x \right) + \left( \sum_{x=0}^{+\infty} \sum_{y=0}^{+\infty} \text P(X=x,Y=y)\,y \right) \\ &=\left( \sum_{x=0}^{+\infty} x \sum_{y=0}^{+\infty} \text P(X=x,Y=y) \right) + \left( \sum_{y=0}^{+\infty} y \sum_{x=0}^{+\infty} \text P(X=x,Y=y) \right) \\ &=\left( \sum_{x=0}^{+\infty} x\, \text P(X=x) \right) + \left( \sum_{y=0}^{+\infty} y\, \text P(Y=y) \right) \\ &=\text E(x)+\text E(Y) \end{align*} \]