牛客练习34 D Little w and Exchange 【思维,归纳证明】

题意:长度为n的序列a, 问[1:m]中每一个数字是否能用序列a若干个数之和来表示?. 

n<=1e3,1<=a[i],m<=1e9.

先将序列a排序.若a[1]!=1 显然无法构造数字1.

那么a[2]只能为1或者2. 否则无法构成数字2

设前i-1个数之和为sum, 若下一个数a[i]>sum+1 那么sum+1显然不能被构造出来

归纳法:假设前i-1个数能构成[1:sum],那么当a[i]<=sum+1. 则[1,sum+a[i]]中的所有数都能构造出来. 

先取全集S,其和等于sum+a[i]. 因为a[i]<=sum+1,那么前i-1个数可以构造出[1:a[i]-1]中的任意一个数.

去掉1 则S之和为sum+a[i]-1.....去掉a[i]-1,则S之和为sum+1. 所以可以构造出[1:sum]∪[sum+1,sum+a[i]]中任意一个数,证毕.

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> ii;
const int N=2e5+5;
ll n,m,sum=0,a[N];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin>>a[i];
	sort(a+1,a+1+n);
	bool flag=true;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i]>sum+1){
			flag=false;
			break;
		}
		sum+=a[i];
		if(sum>=m)	break;
	}
	if(sum<m)	flag=false;
	puts(flag?"YES":"NO");
	return 0;
}