分治策略 - 典型实例 - 快速排序算法

快速排序算法

基本思想：被排序数组为A，用数组首元素作为标准将A分成前后两部分，比首元素小的元素构成数组的前部分，比首元素大的部分构成数组的后部分。这两部分构成两个新的子问题，算法接着对这两个数组进行递归。

Quicksort(A,p,r) //p,r分别为数组A的首元素和尾元素的下标

输入：数组A[p..r]，1<=p<=r<=n
输出：从A[p]到A[r]按递增顺序排好序的数组A

if p<r
then q <- Partition(A,p,r)   //划分数组，找到首元素A[p]在排好序后的位置q
     A[p] <-> A[q]
     Quicksort(A,p,q-1)
     Quicksort(A,q+1,r)

Partition是划分的过程

x <- A[p]
i <- p+1
j <- r+1
while true do
    repeat j <- j-1
    until A[j] <= x
    repeat i <- i+1
    until A[i] > x
    if i < j
    then A[i] <-> A[j]
    else return j

下面举一个例子

算法的时间复杂度分析

1. 每个元素都要和首元素进行一次比较（在i，j相遇位置附近的元素可能比较2次），所以划分过程的工作量是O(n)。
2. 两个子问题递归调用的工作量

快速排序算法的各种情况分析

1.

均等划分子问题

先看均等划分的例子，如果每次划分得到的子问题大小都相等，即每个子问题的规模都等于n/2，那么在当前实例下时间复杂度函数的递推方程是：

\[\left\{ \begin{array}{lr} T(n)=2T(n/2)+O(n) & \\ T(1)=0& \end{array} \right. \]

根据主定理，该方程的解\(T(n)=O(nlogn)\)，这是一种比较好的情况。

2.

子问题规模不同，但遵从一定比例

即使子问题规模不一样，但两个子问题的规模遵从一定的比例，比如1:9，那么时间复杂度函数的递推方程为：

\[\left\{ \begin{array}{lr} T(n)=T(n/10)+T(9n/10)+O(n) & \\ T(1)=0& \end{array} \right. \]

c是常数

这棵树不均衡，从树根到最左边树叶的路径最短，在这条路径上，每层的子节点的值是父节点值的1/10，设树根是第0层，每层为第k层，
\(\frac{1}{10}\)^kn代表当前第k层的值，即子问题规模。
\(\frac{1}{10}\)⁰n=n，代表第0层值为n，
当\(\frac{1}{10}\)^k*n=1，即子问题规模为1，到达树叶时，k=\(\log\)₁₀(\(x\))。
同理得到最右边路径长度是log_10/9n，为了表示时间渐进的上界，不妨取最长路径作为树的层次，即所有节点的数值之和为

T(n) = c\(n\log\)_10/9\(n\) = O(\(n\log(n)\))

这说明，即使子问题规模不均衡，但是只要比例一定，快速排序算法的时间复杂度仍旧是\(O(n\log(n))\)。

3.

下面介绍极端不均衡的情况

即划分后两个子问题的规模一个是0，另一个是\(n-1\)的情况，当数组元素是按从小到大正排序或从大到小逆排列时，就会呈现这种划分。

\[\left\{ \begin{array}{lr} W(n)=W(n-1)+O(n) & \\ W(1)=0& \end{array} \right. \]

根据迭代归纳，此时\(W(n)=O(n^2)\)
但最坏情况出现的概率很低，它的平均性能还是不错的。

4.

平均情况

假设交换后，数组A的首元素在排好序后处在\(n\)个位置中的任何位置都是等可能的，即它处在任何位置的概率都是\(1/n\)。如果它处在位置\(i\)（\(i\)=1,2,...,\(n\)），那么划分后的两个子问题规模分别是\(i-1\)和\(n-1\)。考虑到\(T(0)=0\)，因此可以得到

当把\(O(n)\)看作\(n-1\)时，这个方程的解是\(T(n)=O(nlogn)\)。
对于排序问题，平均情况下效率最高的算法就是时间复杂度为\(O(nlogn)\)的算法。在这个情况下，快速排序算法是平均情况下效率最高的算法之一。