7-4 最低通行费

7-4 最低通行费 动态规划分析

1.1 递归方程式

关键点：从(1,1)到(N,N)至少经过2N-1个格子，题目要求恰好2N-1时间，故只能向右或向下走。

设dp[i][j]为从(1,1)到(i,j)的最小费用：

• 边界：dp[1][1]=cost[1][1]
• 第一行：dp[1][j]=dp[1][j-1]+cost[1][j]
• 第一列：dp[i][1]=dp[i-1][1]+cost[i][1]
• 其余：dp[i][j]=cost[i][j]+min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

最优子结构说明：到达(i,j)的最后一步只能来自上方或左方，故dp[i][j]只依赖两个前驱状态的最优值，满足最优子结构。

1.2 填表法

• 维度：二维表dp[1...N][1...N]，与网格同规模。
• 范围：i从1到N，j从1到N。
• 顺序：先填dp[1][1]，再填第一行（j递增）、第一列（i递增），然后i从2到N、j从2到N按行优先填写。这样保证dp[i-1][j]、dp[i][j-1]已计算。
• 最优值：dp[N][N]，即表格右下角元素。

1.3 复杂度

• 时间：O(N^2)，共N2个状态，每个状态O(1)转移。
• 空间：O(N^2)；用滚动数组只保留上一行和当前行，可优化到O(N)。

对动态规划算法的理解和体会
动态规划的核心是把大问题拆成小问题并保存子问题的解，避免重复计算。它适用于同时具备最优子结构和重叠子问题的问题。

通过"最低通行费"这道题，我体会到求解DP的一般步骤：先分析约束简化问题（本题"恰好2N-1时间"把四方向移动压缩为只能向右或向下），再定义状态dp[i][j]，然后由"最后一步从哪来"推出转移方程，接着确定边界和填表顺序，最后定答案位置并分析复杂度。

几点体会：一是状态定义决定一切，定义得好转移方程水到渠成；二是约束条件往往是解题钥匙，本题的时间限制反而是简化的突破口；三是填表顺序体现依赖关系，滚动数组优化正是在理清依赖后把空间从O(N^2)降到O(N)，说明优化建立在对结构的理解上；四是DP是用空间换时间的典型，把指数级搜索压缩为多项式时间。

总之，DP不是背模板，而是"分解问题、刻画状态、利用已有结果"的思维方式。遇到新问题我会先问：子问题是什么？如何依赖？能否有序地填表算出来？想清这三点，思路就清晰了。