进阶图论

进阶图论

I. 割点与桥

首先，我们得了解割点的含义

割点

对于一个无向图，如果把一个点删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是这个图的割点（又称割顶）。

通俗点说，就是连接两个或多个连通分量的公共点。

如何求割点呢，这里引用一个算法:Ttarjan

定义 dfn[i] 为 i 点DFS访问的顺序 ， low[i] 为 i 点不经过其父亲能到达的最小的DFS序。

接着，我们开始DFS。

怎样判断割点呢， 对于一个顶点u，如果存在至少一个顶点 v （u的儿子），使得 low[v] > low[u] ，即不能回到祖先，那么u点为割点。（为什么自己想）

当然，此根据不适用搜索的起始点。（也是自己想）

更新low的代码：

if(!dfn[v])
    low[u] = min(low[u], low[v]);
else if(instack[i])
    low[u] = min(low[u], dfn[v]);

instack[i] 表示 i 点有没有被处理。u 是当前节点， v 是这个节点的所有邻居。

最后就是整体代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+5;

int n, m;
vector<int>g[N];

int dfn[N], low[N], id;
//low,i;i不经父亲能达到的最小节点 
stack<int>s;
int inst[N], cnt[N];

void tarjan(int u, int root){
	dfn[u] = low[u] = ++id;
	s.push(u);
	inst[u] = 1;
	int child = 0;
	for(auto v : g[u]){
		if(!dfn[v]){//未访问 
			tarjan(v, root);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if(low[v] >= dfn[u] && u != root){
				cnt[u] = 1;
//如果儿子的low值大于等于dfn，则代表其为儿子与其他非子树点相连的唯一途径
			}
			if(u == root)
				child++;
		}
		else
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
	}
	if(child >= 2 && u == root)
		cnt[u] = 1;
}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		if(!dfn[i])
			tarjan(i, i);			
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(cnt[i])
			ans++;
	cout<<ans<<"\n";
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(cnt[i])
			cout<<i<<" ";
	
	return 0;
}

割边（无重边）

和割点差不多，叫做桥（点换成边嘛）。不做解释。

更新的方法和割点差不多， 只需改一处low[v] > dfn[u]，也就是不用判断根节点了。

下面代码实现了对 无重边 的无向图求割边，其中，当 isbridge[x] 为真时，(father[x],x) 为一条割边。

int low[MAXN], dfn[MAXN], idx;
bool isbridge[MAXN];
vector<int> G[MAXN];
int cnt_bridge;
int father[MAXN];

void tarjan(int u, int fa) {
  father[u] = fa;
  low[u] = dfn[u] = ++idx;
  for (const auto &v : G[u]) {
    if (!dfn[v]) {
      tarjan(v, u);
      low[u] = min(low[u], low[v]);
      if (low[v] > dfn[u]) {
        isbridge[v] = true;
        ++cnt_bridge;
      }
    } else if (v != fa) {
      low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
  }
}

en就这么多。

圆方树

点双联通分量不是很好缩点，但是我们可以建立圆方树：每个点双建一个点，称之为方点，原图中每个点也建一个新点，称之为原点。每个方点与属于他的圆点连边，就构成了一棵树，称为圆方树。

图例

下面的图显示了一张图对应的点双和圆方树形态

因为圆方树是基于割点的，所以只需要用类似求割点的方法构建圆方树。

void Tarjan(int u) {
  low[u] = dfn[u] = ++dfc;                // low 初始化为当前节点 dfn
  for (int v : G[u]) {                    // 遍历 u 的相邻节点
    if (!dfn[v]) {                        // 如果未访问过
      Tarjan(v);                          // 递归
      low[u] = min(low[u], low[v])	  // 未访问的和 low 取 min
      if (low[v] == dfn[u])  			 // 标志着找到一个以 u 为根的点双连通分量
        ++cnt;                 			 // 增加方点个数
         // 将点双中除了 u 的点退栈，并在圆方树中连边
      for (int x = 0; x != v; --tp) 
      {
         x = stk[tp];
         T[cnt].push_back(x);
         T[x].push_back(cnt);
     }
     // 注意 u 自身也要连边（但不退栈）
    T[cnt].push_back(u);
    T[u].push_back(cnt)；
    else
      low[u] = min(low[u], dfn[v]);  // 已访问的和 dfn 取 min
  }
}

II.网络流

网络流是指一个特殊的有向图。

这个图的特殊点在于有两个特殊的点，源点和汇点，还有一个类似边权的容量

网络流满足以下限制

1.容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量

2.流守恒性：除源汇点外，任意结点 u的净流量为0.（也就是流入和流出的流量一样）

最大流

定义：

给定网络G及G上的流 f.

对于边(u, v)，我们将其容量与流量之差称为剩余容量c(u,v)

我们将G中所有结点和剩余容量大于0的边构成的子图称为残量网络.

我们将G上一条从源点s到

Edmonds–Karp算法（简称EK）

对于每一个容量