三分 ， 哈希， 模拟退火

三分，哈希， 模拟退火

I .三分

三分，顾名思义， 将一个区间分成三段（需要平均分）， 以类似二分的处理方式判断答案在那个区间。

接着继续枚举， 直到确定结果。

三分一样需要单调性， 但单调性与二分有所不同。

二分需要满足数据严格“ 递增 ”或“ 递减 ”。而三分只需要满足数据是一个单峰或单谷函数（如图就是一个单谷函数）

接下来， 我

义图中左黄点为L（和二分相当的左端点）, 右黄点为 R（右端点）, 右蓝点为Rmid, 左蓝点为Lmid。

则绿点为所求答案。

那么， Rmid 和 Lmid 怎么求呢。

非常简单， (2 * l + r) / 3 = Lmid ， (2 * r + l ) / 3 = Rmid。这里不证明

接着是模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T;
int n;
int a[10005], b[10005], c[10005];
double s(double x)
{
	double ans = -1e9;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		ans = max(ans, a[i]*1.0*x*x + b[i]*1.0*x + c[i]*1.0);
	return ans;
}
int main()
{
	cin >> T;
	while(T--)
	{
		cin >> n;
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
		double l = 0, r = 1000;
		while(r - l > 0.000000001)
		{
			double mid1 = (l*2+r)/3;
			double mid2 = (l+r*2)/3;
			if(s(mid1) < s(mid2))
				r = mid2;
			else
				l = mid1;
		}
		printf("%.4f\n", s(l));
	}
}

上述代码就是关于求一个单峰（单谷）的函数的解。

由此可见，三分可以解决数据（可能性）上升（下降）再下降（上升）的问题。

（其实就是二分变种）

II.哈希

哈希是指将字符串的状态表示为数字的算法，以用来状态压缩

普遍的， 我们将这个字符每一位都当作一个N进制数，并mod一个数（因为数可能很大）

int n; //进制
int p; //模数
string a;//待处理字符串
int ans;// 处理后的数字
for(int i = 0; i < p,size(); i++)
	ans = (ans + (p[i]-'a') * pow(n, i)) % p;//p[i] - 'a'指将字符处理成数字

(自然，n, p 甚至是每个字符表示的数字都是可以改变的)

这样，每个字符串（也就是状态）的比较就变成了O(1) 的复杂度。

但是，我们会发现一个问题 a%p 可能等于 b%p (b = a * x )。这时，a != b，但状态结果一样。这就是哈希冲突

为了尽量避免哈希冲突，我们可以将模数调大，并将模数改为质数

III.模拟退火（SA)

一种很玄的算法，我不希望在考场上遇见。

模拟退火，指模拟物理上退火的过程

首先， 要有一个温度变量T，当T变小时，答案跳动的幅度就会变得更小。

我们会用随机函数来随机出下一步的答案（即答案跳动）

如果答案更优，直接接受。如果答案更劣,则有

\[ P(\Delta E) = \begin{cases} {1 , \hspace{1.1cm} S'\ \ is \ \ better \ \ than \ \ S} \\ {e^{\frac{-\Delta E}{t}}},\hspace{1.1cm}ohters\ \ \end {cases} \]

e 什么意思不用管，只知道代码就行了（如下

exp(-d / t) *RAND_MAX > rand()//答案更劣时

整体伪代码如下

int t = 2000//温度（答案变动幅度）
int ans; //答案（暂时）
while(t > 1e-15)//1e-15可自定
{
    x = ansx + （rand() * 2 - RAND_MAX) * t;//括号内按题意自定
    d = pd(x)//判断答案更优或更劣
    if(d < 0)//更优
        ansx = x;//更新答案
    else if(exp(-d / t) * RAND_MAX > rand())//更劣有概率接受
        ansx = x;
    t *= 0.999//自定
}

由于有随机数的存在，所以答案不一定准确，需要调整参数，慢慢尝试。

(en, 有概率AC)

究极玄学算法