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【算法】解析IEEE 754 标准

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IEEE 754(Institute of Electrical and Electronics Engineers)在1985年发布,该标准是为了统一规范浮点数的存储。

 

1.浮点数的存储过程

在IEEE 754标准中浮点数由三部分组成:符号位(sign bit),有偏指数(biased exponent),小数(fraction)。浮点数分为两种,单精度浮点数(single precision)和双精度浮点数(double precision),它们两个所占的位数不同。

 

单精度浮点数(共32位):
1个符号位
8个指数位
23个小数位

 

双精度浮点数(共64位):
1个符号位
11个指数位
52个小数位

 

接下来笔者以单精度浮点数0.15625讲解浮点数的存储过程:
0.1562510转化为二进制就是0.001012,然后将该数写成科学计数法(scientific notation),根据IEEE 754的规定,小数点的左边只能有一个1,所以最终的科学计数法形式是:

0.1562510 = 0.001012 = 1.012 * 10-3

然后就可以得到小数部分为.012,指数部分为-3。

最终在内存中的存储结果就是如下图:

符号位(sign):0,因为该数是正数(1表示负数)。

有偏指数(biased exponent):-3 + 偏移量(bias),在单精度浮点数中偏移量是127,因此127+(-3)=124,所以偏移指数是124。在双精度浮点数中偏移量是1023,因此偏移指数是1020。

小数(fraction):.010000000000000000000002

 

在上面已经展示了浮点数的存储过程,接下来再仔细说一说有偏指数,还是拿单精度浮点数来说吧! 在单精度浮点数中,有8位可以用来存储指数(范围就是:0~255),那么怎么表示负的指数呢?IEEE 754标准的制定者为了解决这个问题,约定了指数偏移量(单精度的偏移量是127),指数值要在加上偏移量后才能进行存储,这样就能表示指数的正负值了。通常情况下,如果存储的值大于偏移量,那么就意味着指数是正的;如果存储的值小于偏移量,那么就意味着指数是负的;如果存储的值等于偏移量,那么就意味着指数为0。

 

下面的对应关系,显示了有偏指数代表的各种含义:

0 == 特殊情况:零(zero) 或 次正规数(subnormal)
1 == 2 ^ -126
    ...
125 == 2 ^ -2
126 == 2 ^ -1
127 == 2 ^  0
128 == 2 ^  1
129 == 2 ^  2
    ...
254 == 2 ^ 127
255 == 特殊情况:无穷大(infinity) 或 非数值(NaN)

 

1.1 次正规数(Denormalized Number)

IEEE 754的设计者注意到,除了0.0所有的二进制的科学计数法都有一个1在小数点的左边。在上面也提到过,在写成标准的科学计数法的形式后,小数点的左边只能有一个1。
比如:
25.010 == 110012 = 1.10012 * 24
0.62510 == 0.1012 = 1.012 * 2-1
小数点的左边都是以一个1开始的,为了节约内存,它们规定:所有数在小数点左边默认有一个1。

按照这个规定的话,那么能够表示的最小正数就是:
0 00000001 000000000000000000000012 = 1.000000000000000000000012 * 2-126

如果指数全为0,只能表示数字0的话,那么表示小数位的23位就没有利用起来。于是IEEE754的设计值,规定了一种新的数 次正规数(Subnormal Number Or Denormalize Number)。规定如下:
如果指数位全为0的话,那么在科学计数法中小数点的左边就默认为一个0。这样的数,就被称为次正规数。

在次正规数中所有的偏移指数位都是0,于是规定在单精度浮点数中指数应该为-126(并非-127),在双精度浮点数中指数应该为-1022(并非-1023)

 

所以最小的正数就应该是:
0 00000000 000000000000000000000012 = 0.000000000000000000000012 * 2-126

1.2 零(zero)

数值0被特殊表示:

符号位(sign) = 0或1
有偏指数(biased exponent) = 0
小数(fraction)= 0

0的内存二进制码为:

0 00000000 00000000000000000000002
1 00000000 00000000000000000000002

 

1.3 非数值(NaN)

有一些算数操作是非法的,比如对负数开根号。这类非法操作被称为浮点数异常(floating-point exception),异常结果由特殊字符NaN(Not a Number)表示。

符号位(sign) = 0或1
有偏指数(biased exponent)= 所有位都是1
小数(fraction) = 除了所有位都是0的数(因为所有为0,表示无穷大)

小数位只要不全为0,就表示非数值。
0 11111111 111111111111000000100002

1 11111111 111111111111000000100002

 

1.4 无穷大(infinity)

无穷大有两种,正无穷大(Positive Infinity)和负无穷大(Negative Infinity)。

符号位(sign) = 0表示正无穷大,1表示负无穷大。
有偏指数(biased exponent) = 所有位都是1
小数(fraction) = 所有位都是0.

正无穷大
0 11111111 000000000000000000000002
负无穷大
1 11111111 000000000000000000000002

 

2.除数为0.0会发生什么

如果计算机是采用的IEEE 754的标准(绝大部分计算机都是采用该标准)。那么当除数为0.0时,会发生不可预期的行为(注意程序不会中断)

#include <iostream>
#include <limits>
int main(){
//is_iec559是否支持IEC-559 / IEEE-754标准
std::cout << std::numeric_limits<float>::is_iec559 << std::endl;
std::cout << (1.0 / 0.0) << std::endl;
std::cout << (-1.0 / 0.0) << std::endl;
std::cout << (0.0 / 0.0) << std::endl;
return 0;
}

程序的输出结果是:

1
inf
-inf
-nan

 

3.浮点数的范围

在学习过上面的知识后,我们清楚了IEEE 754中浮点数在内存中的表示形式,我们也知道0(zero)是最小的(这里和下面只讨论非负数),次正规数(Denormalized Number)的表示范围比0大,正规数(normalized Number)表示的范围比次正规数大。

下面清楚的显示了一些范围和数值:


0 00000000 000000000000000000000012 = 0000 000116 = 0.12 × 2-22 × 2-126  =  2−126 × 2−23 = 2−149 ≈ 1.4012984643× 10−45 

(最小的次正规数,smallest positive subnormal number)

0 00000000 111111111111111111111112 = 007f ffff16 = 0.111111111111111111111112 * 2-126  =  2−126 × (1 − 2−23) ≈ 1.1754942107 ×10−38

(最大的次正规数,largest subnormal number)

 

0 00000001 000000000000000000000002 = 0080 000016 = 1.02 × 21-127 = 2−126 ≈ 1.1754943508 × 10−38

(最小的正正规数,smallest positive normal number)

0 11111110 111111111111111111111112 = 7f7f ffff16 = 1.111111111111111111111112  × 2254-127 =  2127 × (2− 2−23) ≈ 3.4028234664 × 1038

(最大的正正规数,largest normal number)

 

0 01111110 111111111111111111111112 = 3f7f ffff16 = 1.111111111111111111111112 × 2126-127 = 1 − 2−24 ≈ 0.9999999404

(比数值1小的最大数,largest number less than one)

0 01111111 000000000000000000000002 = 3f80 000016 = 1.02 × 2127-127  = 1.02 × 20 = 1

(数值1,one)

0 01111111 000000000000000000000012 = 3f80 000116 = 1.000000000000000000000012 × 2127-127 = 1 + 2−23 ≈ 1.0000001192

(比数值1大的最小数,smallest number larger than one)

 

1 10000000 000000000000000000000002 = c000 000016 = −2

0 00000000 000000000000000000000002 = 0000 000016 = 0

1 00000000 000000000000000000000002 = 8000 000016 = −0

 

0 11111111 000000000000000000000002 = 7f80 000016 = infinity(正无穷)

1 11111111 000000000000000000000002 = ff80 000016 = −infinity(负无穷)

 

0 10000000 100100100001111110110112 = 4049 0fdb16 ≈ 3.14159274101 ≈ π ( 圆周率,pi )

0 01111101 010101010101010101010112 = 3eaa aaab16 ≈ 0.333333343267 ≈ 1/3

 

x 11111111 100000000000000000000012 = ffc0 000116 = qNaN (on x86 and ARM processors)

x 11111111 000000000000000000000012 = ff80 000116 = sNaN (on x86 and ARM processors)

通常我们所说的浮点数的范围,都是指的正规数的存储范围。

Level Width Range at full precision
Single precision 32bits ±1.18×10−38 to ±3.4×1038
Double precision 64 bits ±2.23×10−308 to ±1.80×10308

 

4.浮点数的精度

在单精度浮点数中的二进制小数位有23个,所能表示2^23个数,那么只需要换算成在10进制下能够表示相同个数的位数,就可以得到精度了。
10n = 223
10n = 8388608
106 < 8388608 < 107
所以但精度浮点数的精度为6位,同理也可以得到双精度浮点数的精度为15位。

注意:精度为6位,并不是表示所有小于6的数都可以被精确存储,比如0.9。因为这个精度是由二进制的精度位数计算而来的。

所以浮点数的相等判断中,只需要判断他们的差值小于精度就可以了。

#include <stdio.h>      /* printf */
#include <math.h>       /* fabs */

int main ()
{
  float f1 = 0.007;
  float f2 = 0.009;

  int res = ( fabs(f1-f2) < 1e-6 );
  printf ("f1 == f2 is : %s\n",res?"true":"false");
  return 0;
}

输出结果:

f1 == f2 is : false

 

5.参考文献

Single-precision floating-point format_Wikipedia
IEEE 754-1985_Wikipedia
What is a subnormal floating point number?
What is a “bias value” of floating-point numbers?

posted @ 2019-03-10 17:33  HDWK  阅读(4746)  评论(0编辑  收藏