重庆西南附中集训总结Day19

For：2024/07/26

  省流：模拟赛：100+80+0+0=180。一般吧，这场问题在于，许多想法实现不下来，只能卡住继续想，调完代码后所剩时间不多，不过线段树板子挺熟，很快打完了。

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模拟赛

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  早上吃了个牛筋，配置好后给自己断了网，监考教练恐吓没开极域的同学后果自负，乐。下载了压缩包与cena。开始看题！

• T1 蜜（pow）

  令记号 \(a \wedge b\) 表示幂运算 \(a^b\) 。蜜现在要计算一个代数式 $a_1 \wedge a_2 \wedge\cdots \wedge a_n\wedge $ ，但他对运算的顺序感到疑惑。你可以帮他确定一下所有运算的顺序，使得结果最小吗？结果对 \(998244353\) 取模。\(n\leq10^5\)
  题面很不合拍，很多处不严谨，所有的数据限定，题面写的都是整数，而不是正整数，给 \(T1\) 考场上直接加了分讨思考，但是想不出来，看了看后面题面，也都是写的整数，才释然。题意也沾点，思考时将运算顺序理解成了交换律，更是，生提了难度。
  因为上次 \(T1\) 过于简单，考场觉得肯定能切，看了眼数据范围，笃定是 \(O(nlogn)\) 的做法，开始推，甚至开始思考 \(a^b\) 和 \(b^a\) 的大小关系，当然这玩意不可做，于是想出了更逆天的做法，先求出总乘积，再枚举 \(a_i\) 作底数，计算最小答案，通过逆元消去指数中多乘 \(a_i\) 的，难他天，\(tql\) ，场上觉得能切的人不多，但是线性逆元忘了怎么写了，所以留了个逆元空缺，就去看 \(T2\) 了。
  写完 \(T2\) 回来补上了逆元，运行，答案竟不一样？？又仔细推敲了下样例2的结果，发现题意指的是结合律。。。🤡这下就很简单了，第一个数为底数，剩下从左往右遍历，乘起来作为指数，遇到 \(1\) 后面就不用考虑了。怕爆 \(ll\) 还在指数中加了个费马小定理取模，出分后没加的也能过，但是加了的更快 \(win\,win\,win\)

• T2 好图（good）

  如果一个 \(n\) 个结点的带权完全无向图，\(M\) 条边的权值分别是 \([1,M]\) 这 \(M\) 个整数（即任意两条边权值不同，任意一个权值仅属于一条边），则称这张图为一个好图。
现在给定一个n个结点m条边的带权无向连通图，边权是[1,M]中两两不等的整数，你需要添加M−m条边，使其成为一张好图，且加边前后最小生成树的权值和不变。问是否存在至少一种满足要求的加边方案。
  先考虑了如何令权值和不变，显然，加边后的权值和只会减小或不变，进一步就会想到如果和不变，那么边其实也不会变，因为如果和不变，但边变了，且个边权不同，意味着就有的边值比原来选择的大，根据 \(kruskal\) 的贪心取小边的想法，这显然是不正确的。
  所以问题就转化为了：如何加边，使得最小生成树不变，，开桶记录权值是否在图中的话会爆，所以得另辟蹊径，继续模拟 \(kruskal\) 。
  设当前可加入边的空位个数为 \(cnt\) ，设在每次合并集合时,要合并的集合分别为 \(i,j\) 集合的大小为 \(g[i],g[j]\) ，合并后多出的可加边空位为 \(g[i]*g[j]-1\) ，但是在原图中集合 \(i,j\) 可能还有其他的连边，所以要减去这些边数，当某时 \(cnt<0\) 了也就意味着答案不存在。
  考场上没想出线性做法，只能给出 \(n^2\) 的暴力，就是在 \(krusal\) 中直接遍历边，一个一个减，但是最后跑的也挺快，对于许多细节纠结了较久，时间耗费较多，还得练。

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  因为时间所剩无几，\(T3\) 的暴力数据范围也不小，所以直接看了 \(T4\) ，\(T4\) 部分分很丰富，有单查询无修改，有直接暴力，有退化成链的，暴力和单查询需要求 \(LCA\) 但是之前一遍没打过，太菜了，于是去打了链的，打了线段树，最后发现状态不能压缩，直接去世。。。菜就多练，太菜了。。

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By：2024/07/26