题解：CF1770H Koxia, Mahiru and Winter Festival
前言
本文同步自洛谷专栏，题目传送门。
*3500 神仙题。
在学习 APIO2025 的讲课资料时做的这题，这是一个复杂度稍劣的 \(O(n^3)\) 调整法做法，实现难度可能要低一点。
解题
特殊情况
在 \(p_i=i,q_i=i\) 均成立的情况下，给出方案是容易的，此时每条边恰被覆盖一次。
进一步考虑，如果存在 \(p_i\ne i\) 或 \(q_i\ne i\)，那么所有路径总长一定增加，
根据鸽巢原理，最大堵塞程度至少为 \(2\)，下面的一般情况将证明存在一种构造方式满足最大堵塞程度恰为 \(2\)。
一般情况
考虑调整，如果从最优情况开始调整，需要额外增加一些边，这些边是否满足条件并不好确定。
所以考虑从最劣情况开始调整，猜测：\(p_i=n-i+1,q_i=n-i+1\) 即为最劣情况。（完全逆序）
构造
考虑最劣情况的答案怎么构造。
发现只有四个角会被作为两次起点（或终点），
我们可以利用最外层的边满足四个角的限制（每条边恰好两次），然后其余点都向中心走一步。
发现剩余部分问题形式相同，即问题规模减小 \(2\)，且最终的边界情况是容易的。
$\red{\text{注}}$
事实上，将这种构造方法推广到任意情况，维护相对顺序，即是官方题解给出的归纳法，
实现稍复杂，但复杂度可以做到 \(O(n^2)\)。
此时，被覆盖两次的边呈一个涟漪状（虽然是方的）：
注：\([-6,-1],[0,6]\) 两个部分分别对应 \(n=6,7\) 的情况。
调整
考虑从最劣情况开始交换调整，我们希望不增加新的边，
那么每次交换时，两条原来的路径需要有一个交点，将交点之后的路径交换，即可交换两条路径的终点，单次交换 \(O(n)\)。
可以任意地交换吗？
如果想要利用任意交换，做到 \(O(n)\) 次交换，那么手玩一下样例二就会发现不太可能。
任意交换容易出问题，不妨考虑弱化成邻项交换，那么可以考虑冒泡排序。
考虑如下的冒泡排序过程：
对每个终点 \(i\) 记录其当前的起点 \(id_i\)，记 \(f_i=p_{id_i}\) 表示当前起点的目标终点。
每次邻项考虑是否交换时，如果 \(f_j>f_{j+1}\)，就交换 \(id_j,id_{j+1},f_j,f_{j+1}\) 并更新路径，
最后 \(f_i=i\)，即每个终点就能够对应正确的起点。
$\red{\text{正确性证明}}$
初始（最劣）情况下，\(id\) 是完全逆序的，而任意点对在冒泡排序过程中最多交换一次，则每次交换前 \(id\) 是逆序的，而逆序对在网格上对应必然有交，证毕。
在交换的过程中，边集总和没有发生变化，也就是和最劣情况时的构造结果相同，能够满足题意。
实现
复杂度 \(O(n^3)\)，但是跑得很快。
$\red{\text{code}}$
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 205
#define pc(a) ((wrp==obuf+IO&&(fwrite(obuf,1,IO,stdout),wrp=obuf)),(*wrp++)=a)
const int IO=1<<20;
char obuf[IO+1],*wrp=obuf;
int n,H[N],W[N],id[N],mp[N][N];//h 横向，W 纵向
vector<pair<int,int>>E[N];//存路径上的点
inline void write(int x){
int sk[20],top=0;
do{
sk[++top]=x%10,x/=10;
}while(x);
while(top) pc(sk[top--]+'0');
pc(' ');
}
bool check(){//特判答案为 1 的情况
for(int i=1;i<=n;i++){
if(H[i]!=i) return 0;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(W[i]!=i) return 0;
}
for(int i=1;i<=n;pc('\n'),i++){
write(n);
for(int j=1;j<=n;j++) write(j),write(i);
}
for(int i=1;i<=n;pc('\n'),i++){
write(n);
for(int j=1;j<=n;j++) write(i),write(j);
}
return 1;
}
inline void myswap(int &u,int &v){
int iu,iv;
for(int i=E[u].size()-1;i>=0;i--){
mp[E[u][i].first][E[u][i].second]=i+1;
}
for(int i=E[v].size()-1;i>=0;i--){
iu=mp[E[v][i].first][E[v][i].second];
if(iu){iv=i+1;break;}
}
for(int i=E[u].size()-1;i>=0;i--){
mp[E[u][i].first][E[u][i].second]=0;
}
vector<pair<int,int>>tmp;
tmp.insert(tmp.end(),E[v].begin()+iv,E[v].end());
E[v].erase(E[v].begin()+iv,E[v].end());
E[v].insert(E[v].end(),E[u].begin()+iu,E[u].end());
E[u].erase(E[u].begin()+iu,E[u].end());
E[u].insert(E[u].end(),tmp.begin(),tmp.end());
tmp.clear(),swap(u,v);
}
void workw(){//从最劣状况开始调整，构造最劣情况
for(int i=1,x,y,f;i<=n;i++){
x=1,y=i,f=i<n-i+1?1:-1,E[i].emplace_back(x,y);
for(int j=min(i-1,n-i);j>=1;j--){//向下走 min(i,n-i+1)-1 步，
x++,E[i].emplace_back(x,y);
}//下面是走到对称位置
for(;y!=n-i+1;) y+=f,E[i].emplace_back(x,y);
for(;x<n;) x++,E[i].emplace_back(x,y);
}
for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=n-i+1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n-i;j++){
if(W[id[j]]>W[id[j+1]]) myswap(id[j],id[j+1]);
}//需要交换时却无交的情况是不会发生的
}//因为初始情况下是完全的逆序，未发生交换的两条路径之间一定有交
for(int i=1;i<=n;pc('\n'),i++){
write(E[i].size());
for(auto &[x,y]:E[i]) write(x),write(y);
}
}
void workh(){
for(int i=1;i<=n;i++) E[i].clear();
for(int i=1,x,y,f;i<=n;i++){
x=i,y=1,f=i<n-i+1?1:-1,E[i].emplace_back(x,y);
for(int j=i-1;j>=1;j--){
y++,E[i].emplace_back(x,y);
}
for(;x!=n-i+1;) x+=f,E[i].emplace_back(x,y);
for(;y<n;) y++,E[i].emplace_back(x,y);
}
for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=n-i+1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n-i;j++){
if(H[id[j]]>H[id[j+1]]) myswap(id[j],id[j+1]);
}//需要交换时却无交的情况是不会发生的
}//因为初始情况下是完全的逆序，未发生交换的两条路径之间一定有交
for(int i=1;i<=n;pc('\n'),i++){
write(E[i].size());
for(auto &[x,y]:E[i]) write(x),write(y);
}
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>W[i];
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>H[i];
if(!check()) workw(),workh();
return fwrite(obuf,1,wrp-obuf,stdout),0;
}
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