题解：AT_abc435_f [ABC435F] Cat exercise

前言

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前置知识：笛卡尔树，模板题。

分析

转化一下形式：

• 可以将当前点的所在区间删去一个前缀或一个后缀。

• 前往当前点所在区间的最大值点（除了当前点），并仅保留该侧区间。

• 最大化移动距离。

则利用第一点，我们可以通过完全删除左或右侧实现定向移动。

下面给出一个最优性结论：

设当前在 \(i\) 处，则应有 \(i\) 为当前区间最大值点，\(j,k\) 在当前区间中且在 \(i\) 的同侧，不妨设 \(i<j,k\)，再不妨设 \(P_j<P_k\)。

则从 \(i\) 直接移动到 \(j\) 一定不优于先移动到 \(k\) 再移动到 \(j\)。

结论是容易证明的，\(j-i\le k-i+|j-k|\)。

设 \(i\) 左侧首个大于 \(P_i\) 的位置为 \(L_i\)，右侧为 \(R_i\)，记 \(fa_i\) 为 \(L_i,R_i\) 中，\(P\) 较小者。

注：要求是首个是因为有移向最大值点的限制与最优性结论。

则至少存在一种最优方案，满足任意一次移动都为：\(fa_i\) 移向 \(i\)，证明可以应用最优性结论。

发现形式其实是一棵笛卡尔树，建出然后树上 dp 即可。

时空复杂度均为 \(O(n)\)。

实现

赛时记录。