题解：AT_abc425_g [ABC425G] Sum of Min of XOR

前言

AT 传送门，洛谷传送门。

前置知识：01 trie。

参考资料：官方题解。

分析

初步思路与规定

求一个数与若干个数异或最小值可以利用 01 trie 解决，

然而，此题中 \(M\) 可达 \(10^9\)，需要进一步处理。

先建出 01 trie，考虑按结点计算贡献，同时将求和看作 \(M\) 个询问（即有询问 \([0,M-1]\)，方便表达），

利用递归解决，假设当前位于结点 \(p\)，目前有询问 \([l,r]\)，

子节点的高度（高度指到叶子的距离，即二进制下第几位，叶子高度为 \(0\)）为 \(dep\)，

我们需要在当前结点计算出其子结点的贡献。

下文中，涉及到“位”的都是针对二进制。

解决问题

首先发现，询问为 \([l,r]\) 会对计算造成一些困难，

观察到，\(l,r\) 的高位部分在后续不会产生贡献，可以删去，不影响答案。

在递归的过程中，将 \(l\) 的 \([0,dep]\) 位都控制为 \(0\) 是自然的，因此，询问区间可以简化为 \([0,r]\)。

进行一些简单的分类讨论，叶子结点是递归边界，需要先用 \(dep=-1\) 判掉。

$\red{\text{当前结点有两个儿子的情况}}$

这种情况比较容易。

我们可以把第 \(dep\) 位为 \(0\) 的询问传给左儿子，

为 \(1\) 的询问传给右儿子（没有这样的询问则不传），传给右儿子的时候，注意修改 \(r\) 的最高位。

这种情况不会产生贡献。

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若当前结点仅有一个儿子，

不妨设为左儿子（右儿子只是在统计贡献时有些差异）。

若 \(r<2^{dep}\)，直接下传即可，没有贡献；

否则，有贡献 \(2^{dep}\times(r+1-2^{dep})\)，

下传时，询问区间拆分为 \([0,2^{dep}-1],[0,r-2^{dep}]\)，

发现会产生类似的询问区间，这样会造成许多重复计算，

$\red{\text{性质}}$

除了包含 \(M-1\) 的询问区间（注意，此时 \(r=M-1\) 未必成立，因为修改过高位），

其它的询问区间都有 \(r+1=2^{dep+1}\)，则产生的两个询问区间相同。

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令 \(dp_p\) 表示对于结点 \(p\)，询问区间恰为 \([0,2^{dep}-1]\) 时的答案，计算过的就利用这个数组直接返回答案，可以减少重复计算。

复杂度分析

由于需要建 01 trie，空间复杂度是 \(O(N\log{A})\)，其中值域 \(A=10^9\)，

先分析 \(\exist k,M=2^k\) 的情况，此时，拆分出来的区间都相同，每个结点的贡献仅计算一次，时间复杂度 \(O(N\log{A})\)。

一般地，设 \(k\) 是满足 \(2^k\le M\) 的最大自然数，

则包含 \(M-1\) 的区间在拆分时，至多拆分出一个 \(r+1\ne 2^{dep}\) 的区间，另一个（可能没有）满足 \(r+1=2^{dep}\)，

这些部分单独计算即可，每个高度仅有一个这样的区间，共 \(\log{A}\) 个，不影响复杂度。

代码

提交记录。

补充

官方题解中没有显式建出 trie 树，可以前往学习。

蒟蒻在赛时写了一个仍存在少量重复计算的方法，时间复杂度 \(O(N\log^2{A})\)，但好像比一个 \(\log\) 没慢多少，赛时记录。