分块+莫队算法

分块

复杂度\(O(n \sqrt n)\)
主要目的是解决一些区间操作问题

把区间拆分成 \(\sqrt{n}\) 大小的块
每次碰到修改的操作，对于散块，直接暴力操作，对于整块，那么用一个 \(tag\) 进行标记即可

也就是说对于一个操作 \([l,r]\) 来说
我们需要进行操作主要分三步：

1. 暴力操作头散块，即 \([l, k1*block-1]\)，在操作的同时，处理 \([(k1-1) * block, k1 * block - 1]\) 这一整块的 \(tag\)
2. 中间所有的整块，对 \(tag\) 进行标记
3. 暴力操作尾散块，即 \([k2*block, r]\)，在操作的同时，处理 \([k2 * block, (k2+1) * block - 1]\) 这一整块的 \(tag\)

对于查询操作来说

1. 暴力查询头散块，即 \([l, k1*block-1]\)，在操作的同时，处理 \([(k1-1) * block, k1 * block - 1]\) 这一整块的 \(tag\)
2. 查询中间所有的整块，拿一个数组 \(sum\) 记录每一整块现在的信息
3. 暴力查询尾散块，即 \([k2*block, r]\)，在操作的同时，处理 \([k2 * block, (k2+1) * block - 1]\) 这一整块的 \(tag\)

P2357 守墓人

题目描述

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

const int maxn=2e5+10;
int n,m,block,op,l,r,id[maxn];
ll a[maxn],sum[1005],tag[1005],x,res=0;

void change(int l,int r,ll x){
  //1.左散块 
  for(int i=l;i<=min(id[l]*block,r);i++)
    a[i]+=x,sum[id[i]]+=x;
  if(id[l]==id[r]) return ;
  //2.中间的整块
  for(int i=id[l]+1;i<id[r];i++)
    sum[i]+=1ll*x*block,tag[i]+=x; 
  //3.右散块 
  for(int i=(id[r]-1)*block+1;i<=r;i++)
    a[i]+=x,sum[id[i]]+=x;
}

ll query(int l,int r){
  res=0;
  //1.左散块
  for(int i=l;i<=min(id[l]*block,r);i++)
    res+=a[i]+tag[id[i]];
  if(id[l]==id[r]) return res;
  //2.中间的整块
  for(int i=id[l]+1;i<id[r];i++) res+=sum[i];
  //3.右散块 
  for(int i=(id[r]-1)*block+1;i<=r;i++)
    res+=a[i]+tag[id[i]];
  return res;
}

int main(){
  /*2023.4.8 hewanying P2357 守墓人 分块*/ 
  scanf("%d%d",&n,&m);
  block=(int)floor(sqrt(n));
  for(int i=1;i<=n;i++){
  	scanf("%lld",&a[i]);
  	id[i]=(i-1)/block+1;
  	sum[id[i]]+=a[i];
  }
  for(int i=1;i<=m;i++){
  	scanf("%d",&op);
  	if(op==1){
  	  scanf("%d%d%lld",&l,&r,&x);
	  change(l,r,x);	
	}
	else if(op==2){
	  scanf("%lld",&x);
	  change(1,1,x);
	}
	else if(op==3){
	  scanf("%lld",&x);
	  change(1,1,-x);
	}
	else if(op==4){
	  scanf("%d%d",&l,&r);
	  printf("%lld\n",query(l,r));
	}
	else if(op==5){
	  printf("%lld\n",query(1,1));
	}
  }
  return 0;
} 

P.S:写代码的过程中要注意左右散块的两端值

P3870 [TJOI2009] 开关

题目描述
\(tag[i]\) 用于记录 \(i\) 这整块被异或的次数
\(sum[i]\) 用于记录 \(i\) 这整块开着灯的数量
整块操作:
tag[i] ^=1, sum[i] = block - sum[i];

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1e5+10;
int n,m,block,op,l,r;
int sum[1005],tag[1005],a[maxn],id[maxn];

void change(int l,int r){
  //1.左散块
  for(int i=l;i<=min(r,id[l]*block);i++)
    a[i]^=1,sum[id[i]]+=(a[i]^tag[id[i]])?1:-1;
  if(id[l]==id[r]) return;
  //2.中间的整块
  for(int i=id[l]+1;i<id[r];i++)
    tag[i]^=1,sum[i]=block-sum[i];
  //3.右散块 
  for(int i=(id[r]-1)*block+1;i<=r;i++)
    a[i]^=1,sum[id[i]]+=(a[i]^tag[id[i]])?1:-1;
}

int query(int l,int r){
  int res=0;
  //1.左散块
  for(int i=l;i<=min(r,id[l]*block);i++)
    res+=(a[i]^tag[id[i]]);
  if(id[l]==id[r]) return res;
  //2.中间的整块
  for(int i=id[l]+1;i<id[r];i++)
    res+=sum[i];
  //3.右散块 
  for(int i=(id[r]-1)*block+1;i<=r;i++)
    res+=(a[i]^tag[id[i]]);
  return res;
}

int main(){
  /*2023.4.8 hewanying P3870 [TJOI2009] 开关 分块*/ 
  scanf("%d%d",&n,&m);
  block=(int)floor(sqrt(n));
  for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=(i-1)/block+1,sum[id[i]]=0;
  for(int i=1;i<=m;i++){
  	scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
  	if(op==0) change(l,r);
  	else printf("%d\n",query(l,r));
  }
  return 0;
}

莫队算法

利用分块的思想，是一种对于离线区间询问问题的暴力方法

判断能否使用莫队的因素

1. 离线区间询问
2. \(add\) 和 \(del\) 操作的复杂度必须是 \(O(1)\)

复杂度\(O(n\sqrt{n})\)

1. 读取所有区间进行排序（按照 \(x,y\) 所在块的 \(id\) 进行从小到大的排序）
2. 按照排序以后的顺序，对每个区间进行求解
3. 按照原顺序输出答案

对于上一组操作 \([L1,R1]\)，下一组操作是 \([L2,R2]\) 的话

(1,100),(2,2),(3,99),(4,4)
区间位移次数：\(99+98+96\)

(2,2),(4,4),(3,99)(1,100)
区间位移次数：\(4+96+3\)

bool cmp(const Node&a, const Node&b){
	if ((a.x - 1) / block == (b.x - 1) / block) return a.y < b.y;
	return a.x < b.x;
}
void add(int x){
	vis[a[x]]++;
	if (vis[a[x] == 1){
		ans++;
	}
}
void del(int x){
	vis[a[x]]--;
	if (vis[a[x]] == 0){
		ans--;	
	}
}
int book[MAXN];
int main(){
	int lastL, lastR, L, R;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	block = sqrt(n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		scanf("%d", &a[i]);	
	}
	for (int i = 1; i <= m; ++i){
		scanf("%d%d", &Q[i].x, &Q[i].y);
		Q[i].id = i;	
	}
	sort(Q + 1, Q + n + 1, cmp);
	int lastL = 0;
	int lastR = 0;
	for (int i = 1; i <= m; ++i){
		int L = Q[i].x;
		int R = Q[i].y;
		// add 是先挪再改
		// del 是先改再挪
		while (lastL < L) del(lastL), lastL++;
		while (lastL > L) lastL--, add(lastL);
		while (lastR < R) lastR++, add(lastR);
		while (lastR > R) del(lastR), lastR--;
		if (ans == R - L + 1){
			book[Q[i].id] = 1;
		} else {
			book[Q[i].id] = 0;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= m; ++i){
		if (book[i])){
			printf("YES\n");	
		} else {
			printf("NO\n");	
		}
	}
	return 0;
}