2025.2.3 想到啥写啥的寒假笔记(1)

1. 二维差分（容斥）

//左上(q,w)到右下(e,r)范围内+1
++a[q][w];
--a[q][r+1];
--a[e+1][w];
++a[e+1][r+1];
//求二维前缀和
for(ll i=1;i<=n;i++){
	for(ll j=1;j<=n;j++){
		a[i][j]+=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];
	}
}

2. P1835
   思路: [L,R] 中最大质因数不超过\(\sqrt(R)\)，筛出[1,\(\sqrt(R)\)]的质数，再筛出[L,R]的合数，相减即答案
   技巧: 数组中 [L,R] 通过 i-L 映射到 [0,L-R]，埃氏筛

3. C - Strange Bank abc099
   一家银行只能取1,\(6^x\),\(9^x\)的钱，问若想要取n元(1e5)，最小的取钱次数是多少。
   因为上限1e5，可以取钱的面值总情况可以预先枚举1，6，9，36，81......
   dp[x]表示，取x元的最小取钱次数，dp[x]=min{dp[x-i]+1}，i为上面枚举的不大于x的面值
   很奇怪，意识不到是线性dp的话怎么也写不出来，意识到后就会写得很快，可能我和dp还不太熟。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
vector<ll> a;
ll num[100005];
ll n;
void solve();

void solve(){
	cin>>n;
	a.push_back(1);
	for(ll res=6;res<=n;res*=6){
		a.push_back(res);
	}
	for(ll res=9;res<=n;res*=9){
		a.push_back(res);
	}
	sort(a.begin(),a.end());

	for(ll i=1;i<=n;i++) num[i]=inf;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll& j:a){
			if(i-j<0) break;
			num[i]=min(num[i],num[i-j]+1);
		}
	}
	cout<<num[n]<<'\n';
}
int main(){
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cout.tie(nullptr);
	
	ll t=1;
	// cin>>t;
	while(t--){
		solve();
	}
	return 0;
}

4. D. Patisserie ABC (400)
   n个蛋糕有"beauty", "tastiness"，"popularity"三个属性（可以是负数），问从中取出m个，各个属性取绝对值后求和的最大值是多少
   枚举000-->111 (0到7)，0表示该属性取绝对值之前是负数，1为正数。
   若取绝对值之前是正数，则正数为总值做贡献，负数拖后腿，即要加上某属性值
   若取绝对值之前是负数，则负数为总值做贡献，正数拖后腿，即要减去某属性值
   最后将和排序，取最大的m个即可

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll n,m;
ll a[1005][3]; //1:正 0:负

void solve();

void solve(){
	cin>>n>>m;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=0;j<3;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	ll ans=0;
	for(ll i=0;i<8;i++){
		ll sum[1005];
		for(ll j=1;j<=n;j++){
			sum[j]=0;
			for(ll k=0;k<3;k++){
				if((i>>k) & 1) sum[j]+=a[j][k];
				else sum[j]-=a[j][k];
			}
		}
		sort(sum+1,sum+n+1);
		ll temp=0;
		for(ll i=n;i>n-m;i--){
			temp+=sum[i];
		}
		ans=max(temp,ans);
	}
	cout<<ans<<'\n';
}
int main(){
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cout.tie(nullptr);
	
	ll t=1;
	// cin>>t;
	while(t--){
		solve();
	}
	return 0;
}

5. G. Shuffling Songs
   题意：有n首歌，每首歌有类型genre和作者writer两个属性，需要建立一个播放列表，列表中相邻的歌需要至少有一个属性相同，问列表最大有多少首歌
   n最大才16，疑似旅行商（神秘第六感），但是没细想
   后来想用图论写，一开始以为题目等效于最大连通图的大小，写完后过样例但是WA5，想了想觉得应该是因为播放列表有前后关系，比如a和b连，a和c连，但是a后面只能接一首歌，b和c可能不会全选。
   后来用dfs求x点后最长链的个数，过样例TLE33，想了想，可能是完全连通图会让dfs非常耗时。
   看了tutorial结果还真是旅行商……

旅行商问题：
bool dp[i][j]=true 表示 i状态 且 下一步从第j个点走出去 的状态是有效的，false则无效
初始化dp[1<<i][i]=true 列表只有一首歌

• 注意dp初始化
• 因为频繁比较，对string要先哈希一下，数据小可以map/按照排序后下标来映射