2024.11.04 Gusare 编程日志

20241104 前言

开个新坑
我真的很有日记癖
但也是真的懒得写
希望自己在退役前能一直更下去
蓦然回首的时候能清晰地看到来时路

点技能树：数位dp

传送门

windy数：https://www.luogu.com.cn/problem/P2657
圆数：https://www.luogu.com.cn/problem/P6218

总结

数位dp挺套路的，一般问 \([l,r]\) 内满足某个条件的数的个数
设 \(f(x)\) 为 \([0,x]\) 内满足条件的数的个数
则 \(ans=f(r)-f(l-1)\)
用 记忆化dfs+dp储存状态 解决

dfs(ll pos,bool lim,bool zero, ... )

• \(pos\) 是当前位置
• \(lim\) 表示是否前面的值是不是贴着放的（即之前每一位都与上限对应值相同）
• \(zero\) 表示前面所有位数是不是都是前导零
• 剩下的参数根据题目而定，一般是前面的数位的某些属性（比如windy数pre_num，圆数是前面的数位在二进制下 \(dd=0的个数-1的个数+dx\)）

数位dp的dfs：

1. 退出条件
   • pos=0 遍历完了
   • 非特殊情况(!lim && !zero)，且 该位置dp值合法
2. 状态转移
3. 若非特殊情况，更新该状态dp值
   状态转移看题目，推出条件的返回值也看题。

补题

Reverse the Rivers

https://codeforces.com/contest/2036/problem/E
一列数满足非递减，二分上下界即可。
懒得手搓二分，只想用lower_bound/upper_bound解决一切，导致T了一发（懒到家了）

XORificator 3000

https://codeforces.com/contest/2036/problem/F
\(F(x)\) 表示 \([0,x]\) 的异或和
关于异或和的一些结论：

• 有个结论连续四个数的异或和是0
• 而0和x的异或和即为x本身。
• \(x \oplus y=z \iff x=y \oplus z\)

• \[F(x) = \begin{cases}x & x=0\ (mod \ 4) \\ 1, & x=1\ (mod \ 4) \\ x+1 & x=2\ (mod \ 4) \\ \ 0 & x=3\ (mod \ 4) \end{cases} \]

\([l,r]\) 异或和 \(sum=F(l-1) \oplus F(r)\)

设 \(G(n,i,k)\) 为 \([0,n]\) 内不有趣数的个数
\(G(n,i,k)=F(m)\cdot 2^i \oplus ( cnt \ mod \ 2 ==1 ? k : 0)\)
其中

• \(m=\lfloor \frac{n-k}{2^i} \rfloor\) 表示 \([2^i,n-k]\) 有多少位数
• \(cnt=m+1\)
  当然 \(n<k\) 要特判 \(0\)
  或许我应该尝试证明一下？

Flipping Cards

https://codeforces.com/gym/104768/problem/M
二分答案的一道题，二分中位数
中位数性质：数列中大于等于mid的个数大于等于\((n+1)/2\)的最大的数

Cells Arrangement

https://codeforces.com/contest/1968/problem/E
构造题，曼哈顿距离最大为(1,1)->(n,n)即 \(2n-2\)
所以最大可能是[0,2n-2] 共2n-1种情况
\((1,1)(2,2)...(n-2,n-2)+(n-1,n)(n,n)\)的构造法
\((n-1,n)\) 在对角线上的点产生3，5，...，2n-3 的距离
\((n,n)\) 在对角线上的点产生4，6，...，2n-2的距离
自己和自己产生0，(n,n-1)与(n,n)产生1，对角线上相邻的点产生2
n大于等于4，这样构造可行
特判n为2，3，也可以
证毕（但是我自己不会构造呵呵呵）

反思：写日志太久了 下次我应该写简单一点