[CF850F] Rainbow Balls

题目大意

这里

题解

我们枚举最后剩下的球的种类，那么其他球可以看做没用了。
设选定的球有\(a_i\)个，球的总数为\(s=\sum_{i=1}^n a_i\)。
现在问题变为：在一个长度为\(s\)的数轴上，初始在\(a_i\)，问在不到达\(0\)的前提下到达\(s\)的期望步数。
设\(p_i\)表示在\(i\)点，向前/后移动一步的概率，有：\(p_i = \frac{i(s-i)}{s(s-1)}\)。
可以列出一个比较显然的式子：

\[f_i = (1-2p_i) f_i + p_i f_{i-1} + p_i f_{i+1} + step_i \]

注意\(step_i = \frac{i}{s}\)，为什么？
感性理解一下。
想象你有一张很大的图，有一些节点是终止节点。
现在你要从当前节点向某个后继节点走一步，要算到达任意一个终止节点的期望步数。
由于我们现在选定了一个终止节点。
那么假设走到了\(0\)号点，就相当于走到了去往另一个终止节点的路径。
不妨把这"1"步拆分成若干份，这若干份的和为\(1\)，分开计算。
由于走到\(0\)就会走到另一条路径上去，所以每一份不妨设为不走到其它路径上的概率。
所以\(step_i\)为从\(i\)点出发，不走到\(0\)的条件下走到\(s\)的概率。
这是一个经典问题了，很容易得到\(step_i = \frac{i}{s}\)。
树上高消肯定是可以的，然而需要求逆复杂度为\(O((\sum a)logn)\)无法通过此题。
所以我们需要进一步深入。
带入\(step_i = \frac{i}{s}\)，稍微变换后有：

\[f_i - f_{i+1} = (f_{i-1}-f_i) +\frac{s-1}{s-i} \]

所以可以得到：\(f_{i}-f_{i+1} = (f_1-f_2) + \sum_{j=2}^{i}\frac{s-1}{s-j}\)
那么有：

\[f_1 = \sum_{i=1}^{s-1} (f_i - f_{i+1}) = (s-1)(f_1-f_2)+\sum_{i=2}^{s-1}\sum_{j=2}^{i} \frac{s-1}{s-j} \]

而\(\sum_{i=2}^{s-1}\sum_{j=2}^{i} \frac{s-1}{s-j} = \sum_{i=2}^{s-1} (s-i) \frac{s-1}{s-i} =(s-2)(s-1)\)。
所以\(f_1 = (s-1)(f_1-f_2) + (s-2)(s-1)\)。
而由于\(f_0\)属于另一条路径，即不存在，故\(f_1 = (1-2p)f_1 +pf_2 + \frac{1}{s}\)。
化简有：\(2f_1 = f_2 + 1\)，所以\(f_1 - f_2 = 1 - f_1\)。
所以有：

\[f_1 = (s-1)(1-f_1) +(s-2)(s-1) \]

解得\(f_1 = \frac{(s-1)^2}{s}\)，即\(f_1-f_2 = 1-\frac{(s-1)^2}{s}\)
而我们知道\(f_{i}-f_{i+1}\)与\(f_{i-1}-f_i\)之间的关系，所顺次推出所有\(f_i\)即可。
答案\(ans = \sum_{i=1}^n f_{a_i}\)，复杂度\(O(max(a)logn)\)。