快速幂

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我们经常会看到 求某数的n次方  常规来讲for循环暴力破解即可

但伴随指数增长 long long 和  __int 64 已经解决不了了

对于 过大的数 系统是不会要求你输入的（毕竟 ll 也承受不了这么大的数值）

通常会让你进行取模运算 取后几位数

那么先来介绍取模运算

取模运算：（ab)%c = ((a%c)(b%c))%c

证明 ： 设 a = k1m + p1; b = k2m + p2

ab = ( ```  )m + p1p2

(ab)%m = p1p2%m

a%m = p1%m  ; b % cm = p2 % m ;

所以（ab)%c = ((a%c)(b%c))%c成立

同理 ：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p

(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p 
求 A^B (只输出后三位）

# include <iostream>
# include <algorithm>
# include <string>
# include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll ;
// a: 底数  b : 指数
ll fast_power (ll a , ll  b){
	ll ans = 1; 
	a%=1000;// 先对a取模，避免a过大
	for (int i = 1 ; i <= b ;i++ ){
		ans *= a;
		ans %=1000;
	}
	return ans;
}
int main(){
 	ll a , b, c;
 	cin >> a >> b;
 	// a=2 b =10   
 	cout << fast_power(a,b)<<endl;
 	// result = 24 
	return 0 ;
	
}

当指数过大，要循环很多次 ，这效率当然是非常的低下的，更谈不上实际的生产应用了，所以下面介绍快速幂算法：

对于计算指数形式的数  我们通常习惯折半计算 3**10

3^10=(33)(33)(33)(33)(3*3)

3^10=(3*3)5

3¹⁰⁼⁹5

快速幂核心思想就是每一步都把指数分成两半，而相应的底数做平方运算。

对于指数为偶数 如 3^4 = 3^2 * 3^2 = 9 * 9 ；

对于指数为奇数  3^5 = 3 *3^4 = ····

所以指数是偶数只需要不断折半到次数为 1 ， 对于奇数，只需要在偶数基础上乘原底数即可

# include <iostream>
# include <algorithm>
# include <string>
# include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll ;
// a: 底数 b：指数 c：保留几位就取模10的几次方
ll fast_power (ll a , ll  b , ll  c){
	ll ans = 1;
	a = a % c; 
	while (b){
		//优化版
		if(b%2==1){ // 如果指数是奇数
			ans = ( ans * a ) % c ;
		}
		a = (a * a)% c;
		b /= 2;	
		
		/*  if (b%2==1){
				b--;//指数减一 变为偶数
				ans = ( ans * a ) % c ;//分离一个底数给ans	
				a = (a * a)% c;
				b /= 2;	
			}
			else {
			a = (a * a)% c;
			b /= 2;
			可见代码重复过多
		*/ 
		}
	return ans;
}
int main(){
 	ll a , b, c;
 	cin >> a >> b >> c;// 2 10 1000  --> 取2的十次方的 后三位
 	ll n = fast_power (a,b,c);
 	cout << n << endl;  // 24
	return 0 ;
	
}

对于以上代码还可以进行位运算进行终极优化（能力有限 详解见开头链接）

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