gym102129F

题意

给定一棵带边权树，以及另外一些带边权的边，一个点\(x\)合法，当且仅当\(\forall y\)，\(f(x,y)\ge P(x,y)\)，其中\(f(x,y)\)为\(x\)到\(y\)树上路径的最小值，\(P(x,y)\)为\(x\)到\(y\)的任意路径的最小值。

做法

定义：令\(E_0\)为非树边集合。

引理1：一个点\(x\)合法，充要条件为：\(\forall (u,v,w)\in E_0\)，满足\(\min\{f(x,u),w\}\le f(x,v)\)且\(\min\{f(x,v),w\}\le f(x,u)\)。

证明：
必要性显然。
考虑证明充分性，假设\(x\)不合法，一定存在路径\(P=k_1,k_2,\ldots,k_m\)，其中\(k_1=x,k_{m-1}=u,k_{m}=v\)，满足\(min\{P\}>f(x,v)\)。
假设最小的\(i< m-1\)，满足边\((k_i,k_{i+1})\)为非树边。
若\(f(k_i,k_{i+1})\ge min\{P\}\)，替换会使\(min\{P\}\)更大，依然满足条件。
若\(f(k_i,k_{i+1})<\min\{P\}\)，\(\min\{P'=k_0,\ldots,k_{i+1}\}>f(x,k_{i+1})\)。
综上，一定可以将路径调整成仅有最后一条边为非树边。

\(x\)不合法的充要条件：\(\exists (u,v,w)\in E_0\)，满足\(\min\{f(x,u),w\}>f(x,v)\)或\(\min\{f(x,v),w\}>f(x,u)\)，即\(w>\min\{f(x,u),f(x,v)\}\)且\(f(x,u)\neq f(x,v)\)。

引理2：若\(w\le f(u,v)\)，对于\(\forall x\)，这条边均合法。

证明：
若最终\(w>min\{f(x,u),f(x,v)\}\)，那么\(f(x,u),f(x,v)\)存在一个\(< f(u,v)\)。
容易证明，树上路径\((x,u),(x,v)\)除掉路径\((u,v)\)，边集相同，则必定满足\(f(x,u)=f(x,v)\)。

现在仅需考虑\(w>f(u,v)\)的这些边。那么可以将第一个条件去掉，仅需考虑哪些\(x\)，满足\(f(x,u)\neq f(x,v)\)。

同引理2证明，若\(f(x,u),f(x,v)\)存在一个\(< f(u,v)\)上，两种显然相等。
那么有\(f(x,u)=f(u,v)\)且\(f(x,v)>f(u,v)\)，或，\(f(x,u)>f(u,v)\)且\(f(x,v)=f(u,v)\)。
考虑加入树上边权\(>f(u,v)\)的边，\(u,v\)所在连通块内的点\(x\)符合这个条件。

用\(\text{Kruskal}\)重构树解决。