【NFLSPC #2】Polynomial

题意

nfloj

做法

%%%djq
\(x\)
容易观察到，最优解形似：\((((x+c_1)^{k_1}+c_2)^{k_2}+c_3)^{k_3}\cdots\)

若假设\(c_1\neq 0\)，初始时目标多项式\(f(x)=(((x+c_1)^{k_1}+c_2)^{k_2}+c_3)^{k_3}\cdots\)

结论1：令\(n\)为\(f(x)\)最高项系数不为\(0\)的次幂，\(c_1=\frac{[x^{n-1}]f(x)}{n}\)

证明：
通过归纳容易得到

我们将\(f(x)\)表示为\((x+c_1)\)的多项式（将系数缩小），可缩小问题的规模，即求一个目标函数\(g(x)\)，没有进行第一种操作前就直接进行了第二种操作
考虑求出\(g(x)\)的系数

\(g(x+c)=f(x)\)
用二项式定理展开\((x+c)\)，可以用多项式乘法求出系数\(\{g_i\}\)

考虑在没有进行第一种操作前就进行了第二种操作，即当前目标多项式\(f(x)=((x^{k_1}+c_1)^{k_2}+c_2)^{k_3}\cdots\)
可以发现\(k_1\)整除\(f(x)\)系数不为\(0\)的gcd

还有些判无解的细节，就不具体讲了，可以看看std