October Challenge 2020 Division 1

打了两次div2，终于能打div1了，还是挺兴奋的

Positive AND（10.2）
Replace for X(10.3)
Inversions(10.4)
D-Dimensional MST(10.4)
Adding Squares(10.4)
Compress all Subsegments(10.5)
Rooted Minimum Spanning Tree(10.5)
Random Knapsack(10.8)
Village Road Network（未做）

Rooted Minimum Spanning Tree

回顾Kruskal算法，令\(G_k\)为根据kruskal算法生成的有\(k\)条边的森林
引理1：任意\(k\)边森林\(T\)的最大边大于等于\(G_k\)的最大边

证明：
反证法：假设最大边小于\(G_k\)的最大边
令\(e\)为最小属于\(T\)不属于\(G_k\)的边，显然其小于\(G_k\)
根据kruskal算法流程，\(e\)加入\(G_k\)后形成了环，且环中的边比其小，令\(f\)为在环中某条不在\(T\)的边（容易证明一定存在）
将\(T\)更改为\(T-e+f\)，最大边未增加，通过反复操作，可知假设非真

引理2：任意\(k\)边森林\(T\)总重大于等于\(G_k\)总重

证明：
根据引理1，可删除\(T\)、\(G_k\)最大边
通过归纳得证

考虑除\(1\)以外的集合，初始时有\(n-1\)棵树，每次合并两个连通块，将两个连通块的两条与\(1\)相连的边割掉一条，\(1\)的度数\(-1\)
一条边对答案的增量为：重量-两端到\(1\)的最大值。过程同Kruskal
考虑正确性：证明引理1依然成立，在\(T\)与\(G_k\)的边权看作插进来对答案的增量，由于当一条边插入\(G\)时其他边的增量会增大，这意味着该边增量一直会比其他边小，容易证明引理1的正确性

但我们需要考虑的是，合并两个连通块后，与这个连通块相邻的边的增量是会发生变化的，如何优化呢？
对于一条边，其两个端点在不同连通块，其分别加入两个连通块的集合，然后在一个连通块中生效（生效：加入后删掉该连通块与\(1\)的边）
用set启发式合并维护这个过程
\(O(mlog^2m)\)

Random Knapsack

肯定是考虑哈希碰撞，预处理\(B\)个，\(O(B+q\frac{mod}{B}k)\)（其中\(k\)是哈希的常数）。取\(B=10^6\)能过\(20\)分
考虑预处理\(2^{20}\)个，排序后两两之和期望情况下大概是\(16000\)级别的，如果能过第三个点，那结合那种算法是能过的
不过我并不知道怎么过第三个点
考虑将\(16000\)分开做，先将\([0,2^{10})\)这些数查询子集（这仅需要过第二个点），再单独查询\(2^{10},2^{11},2^{12},2^{13},2^{14}\)
对于查询，具体拿多少个数出来给它们还需要调调参
放份场上的代码code