hdu 6868

题意

\(T\)组数据\((n,m)\)
令\(f(n)=\sum\limits_{d|n}|\mu(d)|\)
求\(\sum\limits_{i=1}^m f(ni)\)
\(T\le 10^4,n,m\le 10^7\)

做法

显然\(f(n)\)是积性函数
则\(f(ni)=\frac{f(n)f(i)}{f((n,i))}\)
构造\(g=\frac{1}{f}*\mu\)，则\(\frac{1}{f}=g*I\)
\(\sum\limits_{i=1}^m f(ni)=\sum\limits_{i=1}^m\frac{f(n)f(i)}{f((n,i))}=f(n)\sum\limits_{i=1}^m f(i)\sum\limits_{d|(n,i)}g(d)=f(n)\sum\limits_{d|n}g(d)\sum\limits_{i=1}^{\frac{m}{d}}f(id)\)

这里的\(g\)性质非常好：
\(g(T)=\sum\limits_{d|T}\frac{\mu(\frac{T}{d})}{2^{2^{w(d)}}}\)
显然有\(g(p)=-\frac{1}{2},g(p^k)=0(k\ge 2)\)
故当\(T=\sum\limits_{i=1}^{w(T)}p_i\)时有\(g(T)=(-\frac{1}{2})^{w(T)}\)，否则为\(0\)

离线下来，对于\(T\)相同的一起操作
对于前\(O(10^5)\)个质数，\(\sum \frac{10^7}{p}\)是\(O(3\times 10^7)\)级别的，至于其他的可以看做其的无穷小