[NOI2020]制作菜品

做法

考虑\(n-1\)的情况
结论1：当\(m=n-1\)时必然有解

证明：
最小值显然\(<k\)，找到一个与其配对的，我们猜测若最小值与最大值和\(\ge k\)
我们对其以\(n\)施归纳，那么要使最小值与最大值反复最优，这是无后效性的，故反复令最小值与最大值匹配即可
\(O(nlogn)\)

推论：当\(m\ge n-1\)时必然有解：

证明
最大值必然\(\ge k\)，同样施归纳，可以转移到\(m=n-1\)的情况

结论2：当\(m=n-2\)时有解的充要条件是可划分为两个\(m=n-1\)的子问题

证明：
充分性易证
每次消掉最小的，同样施归纳

令\(f_{i,j,k}\)为前\(i\)个能否找到集合大小为\(j\)和为\(k\)
将\(\{d_1,d_2,\cdots,d_n\}\)转化为\(\{d_1',d_2',\cdots,d_n'\}\)，\(d_i'=d_i-k\)
令\(f_{i,k}\)为前\(i\)个能否找到和为\(k\)，用bitset优化转移

拓展：
\(m=n-p\)的问题有解当且仅当能划分为\(p\)个\(m=n-1\)的问题