FJWC2020

挑一些没做出来的讲讲

D1T2

题意：\(n\)点\(m\)条边的图，给边定向，使得存在点使得\(1\)和\(2\)能走到该点
\(n\le 15,m\le {n\choose 2}\)

求不存在点使得\(1\)和\(2\)同时走到该点
枚举集合\(A,B\)，表示\(1\)能到达的集合，\(2\)能到达的集合

• \(A\cap B=\emptyset\)
• 不存在边\((u,v)\)，\(u\in A,v\in B\)
• \((u,v)\in E,u\notin A,v\notin B\)，该边怎么定向都无所谓
• \((u,v)\in E,u\in A,v\notin B\)，该边方向确定

然后单独处理\(A,B\)内的，令\(f_{1/2,S}\)为\(1\)到达点集为\(S\)的方案数
\(O(3^n)\)

D1T3

题意：给定长度为\(n\)的字符串，找到最大的\(m\)，使得存在\(1\le l_1\le r_1\le l_2\le r_2\le \cdots\le l_m\le r_m\)，\(s_{l_{i+1},r_{i+1}}\)是\(s_{l_i,r_i}\)的严格子串

结论1：存在最优解，使得子串长度每次减小\(1\)

令\(f_{i}\)为以\(i\)开头的子串作为第一个，最大的\(m\)

结论2：\(f_{i}\le f_{i+1}+1\)

证明：
相当于证明\(f_{i+1}\le f_{i}-1\)，这很显然

那么每次判断初始化\(f_i\)为\(f_{i+1}+1\)，然后一步步判断
考虑如何判断\(f_i\)大于等于\(len\)

• \(j\in[i+len,n]\)
• \(max(lcp(suf_i,suf_j),lcp(suf_{i+1},suf_j))\ge len-1\)
• \(f_j\ge len-1\)

条件2的\(j\)分为可以二分出来，然后就是\(j\in[i+len,n],rank_j\in[l,r]\)，是否存在\(f_j\ge len-1\)，可以用线段树维护

D2T1

题意：有一个长度为 \(n\) 的数列，原先每一个位置都是 \(0\)。每一次，我们可以给两个相邻的位置分别 加一 和 加二 。问最少需要操作多少次，才可以使得对于 \(1≤i≤n\)，第 \(i\) 个位置上的数大于等于 \(h_i\)

看不懂题解...

D3T2

这题很有意思啊

题意：给定\(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，求有多少个非空点集的导出子图连通。
\((x,y)\in E\) 满足 \(|x−y|≤12\)。
答案对 \(2\) 取模，\(1≤n≤50\)

考虑对连通块黑白染色，那么对于一个子图，染色的方案数为\(2^{连通块个数}\)，该为对\(4\)取模，若最后答案为\(2\)则为\(1\)，否则为\(0\)
状压点的颜色。\(O(3^{12}n)\)

D4T3

题意：给定一棵 \(n\) 个点的有边权的树，\(q\) 次修改某一条边的边权，要回答在初始局面和每次修改后，有多少条无向路径 \((u,v)\) 满足路径上所有边的 gcd 恰为 \(1\)
\(n\le 10^{5},q\le 100,w,x\le 10^6\)

先考虑\(q=0\)
令\(f(i)\)为路径为\(i\)倍数的个数，\(ans=\sum \mu(i)f(i)\)
由于\(w\le 10^6\)，\(w\)最多质因子个数为\(7\)，每条边的有效约数为\(2^k\le 128\)，用并查集做\(O(2^k n\alpha(n))\)

考虑\(q\ge 1\)，对于\((u,v,w)\in E\)，考虑撤销\((u,v,w)\)的效果，再添加\((u,v,w')\)的效果
处理\(u\)、\(v\)的子树，令\(g(i)\)为\(i\)到\(u/v\)边权的gcd，\(O(nlogw)\)。再合并，\(O(\sqrt{w}\cdot \sqrt{w})\)

\(O(2^k n\alpha(n)+q\cdot (nlogw+\sigma(w)_0\cdot \sigma(w)_0))\)

D5T1

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_1,a_2,⋯,a_n\) ，\(a_i\)为在 \([l_i,r_i]\) 中独立均匀随机生成的实数，求这个序列逆序对个数的期望值

D5T3

给定一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列，你需要把它升序排序。你要进行两个阶段的操作。第一阶段中，每次任选两个相邻元素并进行交换。第二阶段中，每次修改一个位置上的元素。最小化两个阶段操作的总次数，并给出一种总操作次数最小的合法方案。

在第一阶段中，若进行过\(i,i+1\)交换，则\(i\)与\(i+1\)之间连边
对于极大连通块\([l,r]\)，令其逆序对个数为\(x\)
若\(x\ge r-l+1\)，则可以通过第二阶段直接搞，故在最优中不会出现

因为对于一个连通块\([l,r]\)，其至少有\(r-l\)条边，故\(x\ge r-l\)。
所以所有的极大联通块，其逆序对个数为\(r-l\)

故对于区间\([l,r]\)，其可能成为极大连通块的条件为

• \([l,r]\)是\(a_l,\cdots,a_r\)的值域
• \(a_l,\cdots ,a_r\)的逆序对个数为\(r-l\)

若\([l_1,r][l_2,r](l_1<l_2)\)均满足条件，则选择\([l_2,r]\)不会劣于\([l_1,r]\)。故我们会选择以\(r\)为右端点的最大合法\(l\)

根据对极大连通块的定义，最大的合法\(l\)只需要考虑最大满足条件\(1\)的
考虑第一个条件的充要条件

• \(max(a_l,\cdots,a_r)=r\)
• \(\sum\limits_{i=l}^r (a_i-i)=0\)：前缀和相等

考虑如何快速求\([l,r]\)的逆序对，由于\(a_l,\cdots,a_r\)的值域是\([l,r]\)，\(a_1,\cdots,a_{l-1}\)中的任意数，要么全部大于\([l,r]\)，要么全部小于
令\(sum_i\)为\(a_1,\cdots,a_i\)的逆序对个数，\(f(l,r)=sum_r-sum_{l-1}-(r-l+1)\sum\limits_{i=1}^{l-1}[a_i>l]\)

然后随便搞个dp