KPC2020(F未做)

E

*结论1**：\(\exists u\)，\(\forall v((u,v)\in E)\)，均满足\(d_v>d_u\)。则无解

结论1为无解的必要条件，下面通过构造证明其为充要条件

令\(f(u)\)为与\(u\)相邻的，\(d_x\)最小的任意一点
\(\forall u\)，除\((f(u),u)\)外的边均设为\(\infty\)，即其没有作用了

令\(x=f(u)\)

• \(d_x<d_u\)，令\(dis(u,x)=d_u-d_x\)，\(x,u\)同色
• \(d_x=d_u\)，令\(dis(u,x)=d_x\)，\(x,u\)异色

其实就是若干棵树，每棵树是一个根节点下面挂一个菊花