jzoj5511

题意

给定\(n\)个点的DAG，对于\(i\in[1,n]\)，求对于点\(i\)，\(1\)到\(i\)的所有路径的权值和，一条路径的权值为\(len^k\)（路径长度\(len\)）。（\(n\le 10^5,m\le 2\times 10^5,k\le 500\)）

暴力

令\(f_{i,j}\)为\(1\)到\(i\)的路径\(\sum len^j\)
可以用二项式定理转移。\(O(mk^2)\)

做法

\(len^k=\sum S_{k,i}{len\choose i}i!\)
则\(\sum len^k=\sum\sum S_{k,i}{len\choose i}i!=\sum S_{k,i}i!\sum\limits_{len} {len\choose i}\)
用\(f_{i,j}\)维护到\(i\)的\(\sum\limits_{len}{len\choose j}\)，根据二项式系数的性质，通过\(f_{u,j}+f_{u,j-1}\longrightarrow f_{v,j}\)更新