wyf的超级多项式

题意

已知\(f_m=\sum\limits_{i=1}^k a_iv_i^m\)，不过\(a\)已经忘掉了。幸运的是已经计算好了\(f_{1...k}\)，想要的是\(f_n\)。给定\(f_{1...k},v_{1...k}\)。对\(1004535809\)取模。

做法

我们猜测对于任意\(n(n>k)\)，有\(f_n=\sum\limits_{i=1}^k c_if_{n-i}\)，也就是\(k\)阶线性递推

令\(c_0=-1\)，则\(\sum\limits_{i=0}^k c_if_{n-i}=0\)
\(\sum\limits_{j=0}^k c_j\sum\limits_{i=1}^k a_iv_i^{n-j}=0\Longrightarrow \sum\limits_{i=1}^k a_i\sum\limits_{j=0}^k c_jv_i^{n-j}=0\)
我们想要\(\sum\limits_{j=0}^k c_jv_i^{n-j}\)恒等于\(0\)，只需\(G(x)=c_0x^k+c_1x^{k-1}+\cdots+c_{k-1}x^{1}+c_kx^{0}\)的零点为\(v_{1...k}\)
显然\(G(x)=l(x-v_1)(x-v_2)\cdots(x-v_{k-1})(x-v_{k})\)（\(l\)为常数），因为\(c_0=-1\)，所以\(l=-1\)，然后算出\(G(x)\)后就能得出\(c_{1...k}\)了