uoj424

题意

uoj

做法

转化为笛卡尔树
由于值相同时是选左边的为根，所以右链个数是不受限制的

令\(f(n,k)\)表示左链个数不超过\(k\)的二叉树个数
\(f(n,k)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(k-1,i)f(k,n-1-i)\)

令\(F_k(x)=\sum\limits_{i}f(i,k)x^i\)，有：

\[F_k(x)=F_k(x)F_{k-1}(x)x+1\Longrightarrow F_k(x)=\frac{1}{1-xF_{k-1}(x)} \]

猜测\(F_k(x)\)可以表示成\(\frac{A_k(x)}{B_k(x)}\)：

\[F_k(x)=\frac{A_k(x)}{B_k(x)}=\frac{B_{k-1}(x)}{B_{k-1}(x)-xA_{k-1}(x)} \]

\[\begin{bmatrix}A_k(x) \\B_k(x) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\-x & 1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}A_{k-1}(x) \\ B_{k-1}(B)\end{bmatrix} \]

直接把多项式放进去常数大，插值就好了