bzoj2554

题意

有n个球排成一列，每个球都有一个颜色，用A-Z的大写字母来表示，我们每次随机选出两个球ball1,ball2,使得后者染上前者的颜色，求期望操作多少次，才能使得所有球的颜色都一样？
输出保留一位小数。

做法

单独考虑每种颜色

设当前颜色个数为\(i\)，令\(g_i\)为到达目标状态的概率，有\(g_i=\frac{1}{2}(g_{i-1}+g_{i+1})\)，边界\(g_0=0,g_n=1\)

同理，令\(f_i\)为到达目标状态的期望步数，这里的期望指能到达目标状态的，所以对于每种转移，还得算起能到达目标状态的概率

\[f_i=\frac{n(n-1)}{2i(n-i)}+\frac{1}{\frac{1}{2}g_{i-1}+\frac{1}{2}g_{i+1}}(\frac{1}{2}g_{i-1}f_{i-1}+\frac{1}{2}g_{i+1}f_{i+1}) \]

然后有个结论是：\(g_i=\frac{i}{n}\)，可进一步化简成

\[f_i=\frac{n(n-1)}{2i(n-i)}+\frac{i-1}{2i}f_{i-1}+\frac{i+1}{2i}f_{i+1} \]