AGC014-F Strange Sorting

题意

\(n\)-排列，反复进行：将序列中为前缀最大值的数全部移动到序列末（两种数不改变相对位置），问经过多少次后第一次全部升序排列

做法

定义：用high表示为前缀最大值，low则反之
考虑忽略\(1\)，那么\([2,n]\)相对排好序后，假设用了\(T\)次，如果\(1\)在首，则答案为\(T\)，否则还要在进行一次，为\(T+1\)

检查答案是\(T\)还是\(T + 1\)？ \(T = 0\)的情况非常简单
假设\(T> 0\)，并考虑\(T − 1\)运算后序列的状态
令\(f\)为在\(T-1\)运算之后，在\([2,n]\)在序列中首先出现的整数。通过\(T\)的定义，我们可以证明\(f> 2\)（否则，要么\([2,n]\)在\(T-1\)运算中排序，要么再操作一下也排不好）。可以看到，在\(T − 1\)次后，如果\(1\)出现在\(f\)和\(2\)之间，则答案为\(T\)，否则为\(T + 1\)

结论1：\(f\)不会出现其不在第一个位置且为high的情况

证明：考虑反证
第一个数\(y\)为high，\(y<f\)
当它们同时为high或low，相对位置不变
否则只可能\(y=low,f=high\)，相对位置还是不变

结论2：
定义循环序列\((a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)\)
则\(1, 2, f\)在前\(T - 1\)次组成的(关于它们位置的)循环序列不会变

证明：
\((1)\)如果\(1\)是第一个元素（这里指的不是相对顺序，就是指排在序列首）
\(~~~(i)\)如果\(2\)是第二个元素，那么\(1, 2\)是high， f是low
\(~~~(ii)\)如果\(f\)是第二个元素，那么\(1, f\)是high， 2是low
\(~~~(iii)\)否则2, f都是low
\((2)\)如果\(2\)是第一个元素，那么\(2\)是high，\(1\)和\(f\)是low
\((3)\)如果\(f\)是第一个元素，那么f是high，\(1\)和\(2\)是low
\((4)\)否则\(1, 2, f\)都是low

考虑\([i,n]\)，令\(T_i\)为对序列进行排序所需的操作数。
令\(f_i\)为\(T_i − 1\)次操作后的第一个整数，考虑整数\([i,n]\)。（如果\(T_i = 0\)，\(f_i\)是不确定的）。
令\(q_i\)为\(i\)在初始序列中的位置（即\(p_{q_i}= i\)）。然后，我们按\(i = N，N − 1…1\)的顺序计算值\(T_i，f_i\)，答案为\(T_1\)。当\(i <N\)时，可以按以下方式计算值：

• 如果\(T_{i + 1} = 0\)，
  \((1)\)如果\(q_i> q_{i + 1}\)，则\(T_i = 1\)，\(f_i = i + 1\)
  \((2)\)否则，\(T_i = 0\)，\(f_i\)未定义。
• 除此以外，
  \((1)\)如果\(q_{f_{i + 1}}\)，\(q_i\)，\(q_{i+1}\)处于此循环顺序，则\(T_i = T_{i + 1}\)和\(f_i = f_{i +1}\)。
  \((2)\)否则，\(T_i = T_{i + 1} +1\)和\(f_i = i + 1\)

题外话

题解的搬运工...

code(wxh)

#include <bits/stdc++.h>
#define xx first
#define yy second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fill( x, y ) memset( x, y, sizeof x )
#define copy( x, y ) memcpy( x, y, sizeof x )
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair < int, int > pa;
 
inline int read()
{
	int sc = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while( ch < '0' || ch > '9' ) { if( ch == '-' ) f = -1; ch = getchar(); }
	while( ch >= '0' && ch <= '9' ) sc = sc * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	return sc * f;
}
 
const int MAXN = 200020;
 
int q[MAXN], p[MAXN], n, T[MAXN], f[MAXN];
 
int main()
{
#ifdef wxh010910
	freopen( "data.in", "r", stdin );
#endif
	n = read();
	for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) q[ p[ i ] = read() ] = i;
	for( int i = n - 1 ; i ; i-- )
	{
		if( !T[ i + 1 ] )
		{
			if( q[ i ] > q[ i + 1 ] ) T[ i ] = 1, f[ i ] = i + 1;
			else T[ i ] = 0;
		}
		else
		{
			int cnt = 0;
			cnt += q[ f[ i + 1 ] ] < q[ i ];
			cnt += q[ i ] < q[ i + 1 ];
			cnt += q[ i + 1 ] < q[ f[ i + 1 ] ];
			if( cnt == 2 ) T[ i ] = T[ i + 1 ], f[ i ] = f[ i + 1 ];
			else T[ i ] = T[ i + 1 ] + 1, f[ i ] = i + 1;
		}
	}
	return printf( "%d\n", T[ 1 ] ), 0;
}