KMP 字符串匹配及基础应用
CSP 考前一个多月，发现自己字符串学的都忘完了，顺便开个坑。
第二版修订时间：2025/3/21；持续更新中。
\(\texttt{KMP}\) 算法（板题 洛谷 P3375）
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名称：KMP (Knuth-Morris-Pratt) 字符串匹配算法
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作用：在母串 \(S\) 内，查找某子串 \(P\)（称为“模式串”）的所有出现位置。
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时间复杂度：线性（串长级别）
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算法流程：
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预处理并计算 \(\text{next}\) 数组；
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利用上一步的结果进行字符串匹配。
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下面将分别讲解这两个部分的实现。约定 \(n=|P|, m=|S|\)。
1. \(\text{next}\) 数组是什么？
对于一个长度为 \(\text{len}\) 的字符串 \(s\)，它的 \(\text{border}\) 定义为：
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满足 \(\large s_{[1,k]}=s_{[\text{len}-k+1,\text{len}]} \normalsize, k<\text{len}\) 的所有前缀 \(\large s_{[1,k]}\)。
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显然，\(\text{border}\) 是 \(s\) 的一个子串，且它同时是 \(s\) 的真前缀与 \(s\) 的真后缀。
然后对于上文给出的模式串 \(P\)，我们定义其中长度为 \(i\) 的前缀的 \(\text{next}\) 值为：
即 \(\large P_{[1,i]}\) 的最长 \(\text{border}\) 的长度。
注：\(\text{next}\) 数组，又名 LPS Table，即 Longest Prefix which is also Suffix。
不难发现关于 \(\text{next}\) 的两个关键性质：
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\(\text{next}[i]<i\)（定义）。
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\(\text{next}[i]\) 是 \(\large P_{[1,i]}\) 最长 \(\text{border}\) 的长度；
\(\text{next}[\text{next}[i]]\) 是 \(\large P_{[1,i]}\) 次长 \(\text{border}\) 的长度……
以此类推，嵌套的 \(\text{next}\) 恰好依次对应 \(\large P_{[1,i]}\) 的所有 \(\text{border}\)。
- 对以上一点的说明（如上图）：
根据 \(\text{next}\) 的定义有 \(t_1=t_3,t_2=t_4\)；
根据 \(\text{next}[\text{next}[i]]\) 的定义，有 \(t_1=t_2\)。
所以有 \(t_1=t_4\)，于是 \(\text{next}[\text{next}[i]]\) 对应 \(\large P_{[1,i]}\) 的 \(\text{border}\)。显然这个 \(\text{border}\) 是除了 \(\text{next}[i]\) 最大的，这符合 \(\text{next}[\text{next}[i]]\) 的定义。
其他嵌套情形同理。
2. 如何高效地求 \(\text{next}\)？
由 \(\text{next}[i]<i\)，约定 \(\text{next}[1]=0\)。
对于 \(P\) 中的位置 \(i\)，假设我们已经求出 \(\text{next}[1] \sim \text{next}[i-1]\)，考虑如何求 \(\text{next}[i]\)。
对于 \(\text{next}[i]\)：
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如果 \(P_1 \neq P_i\)，那么 \(\large P_{[1,i]}\) 没有 \(\text{border}\)，记 \(\text{next}[i]=0\)。
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否则，它一定接在 \(\large P_{[1,i-1]}\) 的某个 \(\text{border}\) 后面（见下图），于是有：
可以得到下面的算法：
令变量 \(j\) 初始为 \(\text{next}[i-1]\)。
比较 \(P_i\) 与 \(P_{j+1}\)，分两种情况讨论：
- 如果 \(P_i = P_{j+1}\)，说明 \(\large P_{[1,i]}\) 中长度为 \(j\) 的前缀向后扩展一位后，仍然等于其同样长的后缀。这符合 \(\text{next}\) 的定义，因此 \(\text{next}[i] = j+1\)。
- 否则，找到 \(\large P_{[1,i-1]}\) 的下一个 \(\text{border}\)；令 \(j \leftarrow \text{next}[j]\)，重新比较。
参考代码（C++）：
nxt[1] = 0;
for (int i = 2, j = 0; i <= n; ++i) {
while (j && P[i] != P[j + 1]) j = nxt[j];
if (P[i] == P[j + 1]) j++;
nxt[i] = j;
}
3. 有了 \(\text{next}\) 数组，如何匹配？
假如我们已经求出了 \(\text{next}[1] \sim \text{next}[n]\)，考虑利用其进行子串匹配。
对于 \(S\) 中的每一个位置 \(i\)，令变量 \(j\) 表示模式串 \(P\) 已经匹配完了 \(j\) 个字符。
其初值表示上次已经匹配到了 \(P_j\) 的位置，即以 \(S_{i-1}\) 结尾的一段长度为 \(j\) 的后缀与 \(\large P_{[1,j]}\) 是匹配的。
现在我们检查 \(P_{j+1}\) 是否与 \(S_i\) 匹配。（步骤 A）
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如果相等，那么 \(S\) 与 \(P\) 又往后多匹配了一位，转步骤 B。
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如果不等，参照我们在上一节中的处理方法，令 \(j=\text{next}[j]\)，然后回到步骤 A。
接着让 \(i\) 和 \(j\) 分别 \(+1\)，继续匹配下一个字符。（步骤 B）
如果在某一时刻有 \(j=n\)，那么说明 \(\large S_{[i-n+1,i]} \normalsize = P\)，匹配成功。令 \(j=\text{next}[j]\) 继续匹配。
参考代码（C++）：
for (int i = 1, j = 0; i <= m; ++i) {
while (j && S[i] != P[j + 1]) j = nxt[j];
if (S[i] == P[j + 1]) j++;
if (j == n) {
printf("Found pattern! Begins at: %d\n", i - n + 1);
j = nxt[j];
}
}
4. 复杂度证明
结论：上述两部分合起来的时间复杂度是 \(\mathcal O(n+m)\)。
先分析求 \(\text{next}\) 的复杂度。不难发现，复杂度主要由两部分组成：
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if (P[i] == P[j + 1]) j++;
这一行复杂度是 \(\mathcal O(1)\) 的，最多会使指针 \(j\) 向后跳 \(1\) 位。 -
while (j && P[i] != P[j + 1]) j = nxt[j];
由于 \(\text{next}\) 的一条性质 \(\text{next}[i]<i\)，指针 \(j\) 一定会不断向前跳。
于是我们所分析的就变成了这样一个问题：
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数轴上有一个点，初始在 \(0\) 的位置。
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每秒先向后跳一步（长度为 \(1\) 格），再向前跳若干步，且始终在原点或其右侧。
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时间复杂度即为该点跳的步数。
显然向后跳的时间复杂度累加起来是 \(\mathcal O(n)\)。考虑在向前跳的过程中，每向前跳一步，必然重复走了之前向后跳的若干步，并且由于 \(j\) 向前跳的过程中不能折返，向后跳的每步，至多对应向前跳的一步。所以向前跳的步数是 \(\le \mathcal O(n)\) 的，总复杂度为 \(\mathcal O(n)\)。
匹配部分同理。
提示：一般情况下，对于朴素的字符串匹配问题，使用字符串哈希可以达到与 KMP 相同的复杂度。
循环节问题（板题 洛谷 P4391）
待补充
哦对了，还有一道最长循环节问题，可以留作思考~
带删的字符串匹配（板题 洛谷 P4824）
待补充
Z 函数 / 扩展 KMP（板题 洛谷 P5410）
待补充
一些待完成的习题
更多请参见 OI-wiki
如果 \(\text{next}[i]>0\)，那么 \(\large P_{[1,i]}\) 有一个长度为 \(\text{next}[i]\) 的 \(\text{border}\)。根据下图，\(\large P_{[1,i-1]}\) 就必然有一个长度为 \(\text{next}[i]-1\) 的 \(\text{border}\)。即得到不等式：
所以 \(\text{next}[i] \le \text{next}[i-1]+1\)
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