CF727F [Polycarp's problems] & [EX_Polycarp's problems]

原题题意

给出长度为n的有序数组，m次询问，每次给出一个正整数x。你要删除数组中最少的元素，使得数组中的前缀和+x都为非负整数。允许离线，n≤750，m≤200,000。

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原题思路

首先注意到，x能成功通过测试当且仅当前缀和中最小的数≥x。

将询问从大到小排个序，对于一个新的询问，每次尝试从数组中删除最优的一个数，使得成功的机会更大。

何为最优？我们注意到，a_i只会对后面的数造成影响。设当前前缀和最小为now，f_i为前i个前缀和中最小的数，则答案会增加 max { min { now-a_i , f_i-1 } } （请注意后面的f囊括了now-a_i顾及不到的情况）。

每次判断最小的数在哪，暴力更新，O(n³+mlogm)。

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代码

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll inf=1000000000000000000;
const ll maxn=1E6+5;
template<typename T> void read(T &x){
    x=0;char ch=getchar();int fh=1;
    while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-')fh=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x=x*fh;
}
void write(ll x)
{
    if(x==0){putchar('0');putchar('\n');return;}
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    ll a[25],size=0;
    while(x){a[++size]=x%10;x/=10;}
    for(int i=size;i>=1;--i)putchar(a[i]+'0');
    putchar('\n');
}
ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;}
ll max(ll x,ll y){return x>y?x:y;}
ll n,m,a[maxn],tot,sum[maxn],ans[maxn],f[maxn];
struct query{ll pos,x;}Q[maxn];
bool cmp(query a,query b){return a.x>b.x;}
ll get()
{
    ll ans=inf;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        ans=min(ans,sum[i]);
        f[i]=min(f[i-1],sum[i]);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    read(n);read(m);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        read(a[i]);
        if(a[i]<0)++tot;
    }
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        read(Q[i].x);
        Q[i].pos=i;
    }
    sort(Q+1,Q+m+1,cmp);
    int pos=1;
    for(int i=1;i<=tot;++i)
    {
        ll g=get();
        while(Q[pos].x+g>=0&&pos<=m){ans[Q[pos].pos]=i-1;++pos;}
        if(g>=0)break;
        ll ans=-inf,pos=0;
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            if(min(g-a[j],f[j-1])>ans)
            {
                ans=min(g-a[j],f[j-1]);
                pos=j;
            }
        }
        a[pos]=0;
    }
    ll g=get();
    while(Q[pos].x+g>=0&&pos<=m){ans[Q[pos].pos]=tot;++pos;}
    for(int i=1;i<=m;++i)write(ans[i]);
    return 0;
}

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EX版本：

m,n≤1,000,000，强制在线。

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思路

考虑从后往前贪心。我们先只考虑两种情况（0显然没必要考虑）。

第一种，所有的数均为负数。则每次答案必然会从最小的数删起，直到删的数的绝对值第一次大于等于询问。

第二种，只有一个数为正，其余均为负。两种情况：

       第一种，加起来为仍为正，那么就不会删数。并且这一位不会对以后造成任何影响（既然都加上正数了，能到达这一位，以后肯定不会小于零）。

　　第二种，加起来为负。那么会贪心地选择最小的负数删，直到加起来为正。换个角度，会贪心地选择最大的负数加到正数上，直到正数为负。这样，化归为第一情况。

       再将负数加入大根堆，正数不要的原因同第一种。

图画画，手算算至少能够理解。

最后得到的答案要么剩下正数，要么全是负数。这些负数取反后，从大到小排序的第i位代表了取到第i种答案，要删去1~i个数。

二分查找即可。

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代码

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll inf=1000000000000000000;
const ll maxn=1E6+5;
ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;}
ll max(ll x,ll y){return x>y?x:y;}
template<typename T> void read(T &x){
    x=0;char ch=getchar();int fh=1;
    while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-')fh=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x=x*fh;
}
void write(ll x)
{
    if(x==0){putchar('0');putchar('\n');return;}
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    ll a[25],size=0;
    while(x){a[++size]=x%10;x/=10;}
    for(int i=size;i>=1;--i)putchar(a[i]+'0');
    putchar('\n');
}
ll n,m,a[maxn],wait[maxn],size,x;
priority_queue<ll>Q;
int main()
{
    read(n);read(m);
    for(int i=1;i<=n;++i)read(a[i]);
    for(int i=n;i>=1;--i)
    {
        while(a[i]>=0&&!Q.empty())
        {
            a[i]+=Q.top();
            Q.pop();
        }
        if(a[i]<0)Q.push(a[i]);
    }
    while(!Q.empty())
    {
        wait[++size]=Q.top();
        Q.pop();
    }
    for(int i=1;i<=size/2;++i)swap(wait[i],wait[size-i+1]);
    for(int i=1;i<=size;++i)wait[i]+=wait[i-1];
    for(int i=1;i<=size;++i)wait[i]=-wait[i];
    while(m--)
    {
        read(x);
        write(lower_bound(wait,wait+size+1,wait[size]-x)-wait);
    }
    return 0;
}