数学-群论入门(未完成)

群论

基本概念

一个集合 $ G $ 和一个二元运算 $\cdot $ 构成一个群，可以表示为 \((G,\cdot )\)，其定义如下。

群

一个集合 $ G $ 和一个二元运算 $\cdot $ ： \(G\times G \to G\)，构成一个群 \((G,\cdot)\)，当且仅当满足：

1. 封闭性：对于任意 \(g,h \in G\) 都满足 \(g\cdot h\in G\)。
2. 结合律：\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)。
3. 存在单位元：即存在 \(g\in G\) 使得对于任意元素 \(h\in G\) 都满足 \(g\cdot h=g\)。
4. 对于任意元素 \(h\in G\) 其逆元 \(h^{-1} \in G\) 及单位元 \(g\in G\) 满足 \(h\cdot h^{-1}=g\)

例如 \((z,+)\)，满足上面 \(4\) 条条件，即：

1. 任意两个整数相加还是整数。
2. \(a+(b+c)=a+(b+c)\)。
3. 单位元即为 \(0\)。
4. \(x+(-x)=0\)。

所以 \((z,+)\) 是一个群。

接着还有各种群，例如：群、半群、拟半群、幺半群、交换群、非交换群……

为了方便辨认，我们把所有性质列出来

0. 封闭性：对于任意 \(g,h \in G\) 都满足 \(g\cdot h\in G\)。
1. 结合律：\((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)。
2. 存在单位元：即存在 \(g\in G\) 使得对于任意元素 \(h\in G\) 都满足 \(g\cdot h=g\)。
3. 对于任意元素 \(h\in G\) 其逆元 \(h^{-1} \in G\) 及单位元 \(g\in G\) 满足 \(h\cdot h^{-1}=g\)
4. 交换律：对于任意 \(a,b\in G\)，\(a\cdot b=b\cdot a\)。

他们都分别满足：

种类	不满足	一定满足
半群	\(2,3\)	\(0,1\)
拟半群	\(2\)	\(0,1,3\)
幺半群	\(3\)	\(0,1,2\)
群	无	\(0,1,2,3\)
交换群（阿贝尔群）	不满足 \(4\)	\(4\)
非交换群（非阿贝尔群）	满足 \(4\)	不满足 \(4\)
有限群	\(G是一个无限集\)	\(G是一个有限集\)
无限群	\(G是一个有限集\)	\(G是一个无限集\)

注：一个群可能满足上面多条性质 。