HOJ 魔法少女Clara的快乐训练（名字是自己编的，因为看不到原题的名字QWQ） dp

题意概述：

多组测试。Clara在N天中至多选择M天进行训练，每天题目的难度为ci，Clara初始实力值为0。现在假如第i天正常训练，那么假设当前实力值为x，当天题目难度为y。

当y<x-100，Clara实力值变为0（摸鱼）

当x-100<=y<=x，Clara实力值加一（锻炼了手速）

当x<y<=x+100，Clara实力值增加(y-x+1)/2，向下取整（充分的锻炼）

当y>x+100，Clara实力值增加5000/(y-x)，向下取整（成功或者失败地突破了极限）

现在大仙Claris被Clara感动了，决定可以在N天中选择连续的3天对Clara进行特训（这三天算在M天中），若特训前实力值不超过2148473547，则特训后实力值增加100，否则实力值增加99。

问N天后Clara实力值最大是多少。

数据范围：最多10组数据，1 <= m <= n <= 3000，0 <= Ci <= 1e8，Time limit : 5 s，Memory limit : 512 mb

 

分析：

想想我开始强行写BFS爆搜还剪枝的操作，挺迷的……因为这个题就长了一张dp的脸啊QWQ，一开始没有拨开题目的包装导致没有找到最优子结构的形式，以为不能dp。

 

首先分析实力值的变化，把不等式变形一下，变成x>y+100, y<=x<=y+100, y-100<=x<y, x<y-100。这样看来，比较舒服（变化的应该是x，所以把x写在由y确定的区间里面）。然后分析一下这几个不等式的几句话，有几个重要的信息藏在里面：

1.最优方案中，摸鱼导致实力值变成0的情况不能发生，突破极限失败的情况也不可以发生，也就是说实力值应当是单调递增的。

2.实力值每次最多增加50，那么N天后实力值最大为150000，显然每次Claris给Clara特训的时候实力值都是增加100。

3.若x<y-100，那么训练后x落在[x,x+49]，即[x,y-52]

   若y-100<=x<y，那么训练后x落在[y-50,y]

   若y<=x<=y+100，那么训练后x落在[y+1,y+101]

   也就是说，假如当前实力值x在第i天不会摸鱼，那么实力值x越大，第i天训练后实力值越大。

4.假设前i天最大实力值是x，对于第j天 ( j>i ) ，x>y+100，那么任何第j天进行训练的方案训练后的实力值都不可能比x大。

 

根据上面的分析，已经可以构思dp方程了。

定义：设f(n,m,0/1)表示前n天，至少训练m天，是否有进行过特殊训练，的最大实力值。

转移：考虑f(n,m,0)。第n天不训练，则从f(n-1,m,0)转移。

                                  第n天训练（伪），那么若f(n-1,m-1,0)>c[n]+100，从f(n-1,m-1,0)直接转移；否则对实力值f(n-1,m-1,0)在第n天进行训练，转移。

           考虑f(n,m,1)。第n天不训练和一般训练同上，对于特殊训练，保证下标有意义的情况下转移即可。

答案：MAX( f(N,M,0) , f(N,M,1) )

边界：f(0,0,0)=0，注意f中第一维时刻不小于第二维（这也是粗体字下划线部分必要的原因）

时间复杂度：O(NM)

 

AC代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdbool.h>
#define maxn 3005
#define inf 1e8

int T,N,M,C[maxn];
int f[maxn][maxn][2];

int Min(int x,int y){ return x<y?x:y; }
int Max(int x,int y){ return x>y?x:y; }

void data_in()
{
    scanf("%d%d",&N,&M);
    for(int i=1;i<=N;i++)
        scanf("%d",&C[i]);
}
int g(int x,int n)
{
    if(x-100<=C[n]&&C[n]<=x) return x+1;
    if(x<C[n]&&C[n]<=x+100) return x+(C[n]-x+1)/2;
    if(C[n]>x+100) return x+5000/(C[n]-x);
    return 0;
}
void dp()
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int U=Min(i,M);
        for(int j=1;j<=U;j++){
            int tmp=-inf;
            if(i-1>=j) tmp=f[i-1][j][0];
            if(f[i-1][j-1][0]>C[i]+100) tmp=Max(tmp,f[i-1][j-1][0]);
            else tmp=Max(tmp,g(f[i-1][j-1][0],i));
            f[i][j][0]=tmp;
            
            tmp=-inf;
            if(i-1>=j) tmp=f[i-1][j][1];
            if(f[i-1][j-1][1]>C[i]+100) tmp=Max(tmp,f[i-1][j-1][1]);
            else tmp=Max(tmp,g(f[i-1][j-1][1],i));
            if(i>=3&&j>=3) tmp=Max(tmp,f[i-3][j-3][0]+100);
            f[i][j][1]=tmp;
        }
    }
}
void work()
{
    dp();
    int ans=Max(f[N][M][0],f[N][M][1]);
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("test.out","w",stdout);
    scanf("%d",&T);
    for(int t=1;t<=T;t++){
        printf("Case #%d: ",t);
        data_in();
        work();
    }
    return 0;
}