动态规划:最大子矩阵

  在DP问题中有一种叫最大子矩阵问题,刚好碰到了这一题,于是学习分享之。

  让我们先来看一下题目:ZOJ Problem Set - 1074

  http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1074

  题目分类:动态规划

  题目大意:就是输入一个N*N的矩阵,找出在矩阵中,所有元素加起来之和最大的子矩阵。

  例如在    0 -2 -7 0 这样一个4*4的矩阵中,元素之和最大的子矩阵为   9 2  ,它们之和为15。 

       9  2 -6 2                        -4 1
      -4 1 -4 1                         -1 8
      -1 8 0 -2

 

  这是一个最大子矩阵问题,我们怎么来解决这个问题呢?任何问题都会有它的简化的问题,这是二维的数组,与之对应的,我们可以先尝试一下一维数组。

  如果有一个一维数组a[n],如何找出连续的一段,使其元素之和最大呢?

  例如有 1 2 -3 4 -2 5 -3 -1 7 4 -6 这样一个数组,那么显然 4 -2 5 -3 -1 7 4 这个子数组元素之和最大,为4+(-2)+5+(-3)+(-3)+7+4=14。为找到一维数组的最大子数组,我们可以有以下方法。

  1、穷举法

 

 1 for(i=0;i<n;i++)
 2 {
 3     for(j=0;j<=i;j++)
 4     {
 5         sum = 0;
 6         for(k=j;k<=i;k++)
 7             sum += a[k];
 8         if(sum > max)    max = sum;
 9     }
10 }

 

  穷举法在n很大的情况下,需要运行的次数非常的多,有三层循环,所以n很大时不能使用这种方法。

  2、带记忆的递推法

 1 record[0] = 0;
 2 for(i=1;i<=n;i++)                    //用下标1~n来储存n个数
 3     record[i] = record[i-1] + a[i];  //用record记录a[i]前i个的和
 4 max = 0;
 5 for(i=1;i<=n;i++)
 6 {
 7     for(j=0;j<i;j++)
 8     {
 9         sum = record[i] - record[j];
10         if(sum > max)    max = sum;
11     }
12 }

  这种方法的时间复杂度明显比上一种的低了很多,时间复杂度为O(n²)。这种方法其实我们再继续优化一下,就变成了我们所需要的动态规划。

  3、动态规划

  我们来分析一下最优子结构,若想找到n个数的最大子段和,那么要找到n-1个数的最大子段和,这就出来了。我们用b[i]来表示a[0]...a[i]的最大子段和,b[i]无非有两种情况
:(1)最大子段一直连续到a[i]  (2)以a[i]为首的新的子段 。由此我们可以得到b[i]的状态转移方程:b[i]=max{b[i-1]+a[i],a[i]}。最终我们得到的最大子段和为max{b[i], 0<=i<n}, 算法如下:

 

 1 int MaxSubArray(int a[],int n)
 2 {
 3     int i,b = 0,sum = 0;
 4     for(i = 0;i < n;i++)
 5     {
 6         if(b>0)                // 若a[i]+b[i-1]会减小
 7             b += a[i];        // 则以a[i]为首另起一个子段
 8         else    
 9             b = a[i];
10         if(b > sum)    
11             sum = b;
12     }
13     return sum;
14 }

 

  说了这么多,这跟最大子矩阵有什么关系呢?当然有关系学啦!二维就是一维的扩展,把二维压扁不就变成一维了吗?

  我们假设所求N*N的矩阵的最大子矩阵是从i列到j列,q行到p行,如下图所示(假设下标从1开始)

  a[1][1]  a[1][2]  ······  a[1][i]  ······  a[1][j]   ······  a[1][n]

  a[2][1]  a[2][2]  ······  a[2][i]  ······  a[2][j]   ······  a[2][n]

                  ······

  a[q][1]  a[q][2]  ······  a[q][i]  ······  a[q][j]  ······  a[q][n]

                  ······

  a[p][1]  a[p][2]  ······  a[p][i]  ······  a[p][j]  ······  a[p][n]

                  ······

  a[n][1]  a[n][2]  ······  a[n][i]  ······  a[n][j]  ······  a[n][n]

  最大子矩阵就是图示红色部分,如果把最大子矩阵同列的加起来,我们可以得到一个一维数组{a[q][i]+······+a[p][i] , ······ ,a[q][j]+······+a[p][j]} ,现在我们可以看出,这其实就是一个一维数组的最大子段问题。如果把二维数组看成是纵向的一维数组和横向的一维数组,那问题不就迎刃而解了吗?把二维转换成了我们刚刚解决了的问题。

  最终我们得到了ZOJ Problem Set - 1074的解法,代码如下:http://paste.ubuntu.com/15272521/

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 using namespace std;
 4 
 5 int maxsub(int a[],int n)    
 6 {
 7     int i,max=0,b=0;
 8     for(i=0;i<n;i++)
 9     {
10         if(b > 0)
11             b += a[i];
12         else 
13             b = a[i];
14         if(b > max)
15             max = b;
16     }
17     return max;
18 }
19 
20 int main()
21 {
22     int n,i,j,k,maxsubrec,maxsubarr;
23     int dp[101][101],arr[101];
24     while(cin>>n)
25     {
26          for(i=0;i<n;i++)
27              for(j=0;j<n;j++)
28                  cin>>dp[i][j];
29          maxsubrec = 0;
30          for(i=0;i<n;i++)
31          {
32              memset(arr,0,sizeof(arr));
33              for(j=i;j<n;j++)
34              {
35                  for(k=0;k<n;k++)
36                      arr[k] += dp[j][k];
37                  maxsubarr = maxsub(arr,n);
38                  if(maxsubarr > maxsubrec) maxsubrec = maxsubarr;
39              }
40          }
41          cout<<maxsubrec<<endl;
42     }
43 }

 

posted on 2016-03-03 16:52  Alinshans  阅读(22176)  评论(5编辑  收藏  举报